由直线AB可知D(2,0),C(0,﹣2), ∴DE=6, 解
得
或
,∴P(﹣3,﹣1),
6×3﹣×4×1﹣×2×2=5. ∴S四边形OPBC=S△BDE﹣S△OPE﹣S△COD=×
4.(郑州市一中2019年中考三模数学试卷)如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=
k(x>0)相交于点P,PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0). x
(1)求双曲线的解析式;
C、H为顶点的三角与△AOB相似时,(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴于H,当以点Q、求点Q的坐标. 【答案】(1)y?
4
;(2)Q(4,1)或Q(1+3,23﹣2). x
k,即可求得k值,从而求得双曲线x【解析】(1)根据已知条件易求P点的坐标,把P点的坐标代入y=
的解析式;(2)设Q点坐标为(a,b),根据Q点在双曲线上求得a、b之间的关系,再求得BO、AO的长,分△QCH∽△BAO和△QCH∽△ABO两种情况求Q点的坐标.
(1)把A(-2,0)代入y=ax+1中求得a=,所以y=x+1,求得P点坐标为(2,2). 把P(2,2)代入y=求得k=4,所以双曲线的解析式为y=.
(2)设Q点坐标为(a,b).
因为Q(a,b)在y=上,所以b=.由y=x+1,可得B点坐标为(0,1),则BO=1.由A点坐标为(-2,0),得AO=2.
当△QCH∽△BAO时,所以Q点坐标为(4,1). 当△QCH∽△ABO时,点坐标为(1+
,2
=
,即
=,所以2a-4=,解得a=1+
或a=1-
(舍去),所以Q
=
,即
=,所以a-2=2b,a-2=2×,解得a=4或a=-2(舍去),
-2).
,2
-2).
综上所述,Q点坐标为(4,1)或(1+
5.(河南省信阳市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题)如图,直线y=2x+6与反比例函数y=
k(k>0)的图像交于点A(1,m),与x轴交于点B,平行于x轴的直线y=n(0<n<6)交反比例函数的图x像于点M,交AB于点N,连接BM. (1)求m的值和反比例函数的表达式;
(2)直线y=n沿y轴方向平移,当n为何值时,△BMN的面积最大
【答案】(1)m=8,反比例函数的表达式为y=【解析】 【分析】
8;(2)当n=3时,△BMN的面积最大. x(1)求出点A的坐标,利用待定系数法即可解决问题; (2)构造二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题. 【详解】解:(1)∵直线y=2x+6经过点A(1,m), 1+6=8, ∴m=2×∴A(1,8),
∵反比例函数经过点A(1,8), ∴8=
k, 1∴k=8,
∴反比例函数的解析式为y=
8. x(2)由题意,点M,N的坐标为M(∵0<n<6, ∴
8n?6,n),N(,n),
2nn?6<0, 2∴S△BMN=
11125n?68n?68×|+||)×n=×+)×n=﹣(n﹣3)2+(|(﹣,
222244nn∴n=3时,△BMN的面积最大.
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