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2FC2 tan?FCA??3?CA32 (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．． △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=2b，求C. 【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A—C=90°,得到sinA?cosC.即可求解。 【精讲精析】选D.由A?C?90，得A为钝角且sinA?cosC， 利用正弦定理，a?c?o2b可变形为sinA?sinC?2sinB， 2sin(C?45o)?2sinB， 即有sinA?sinC?cosC?sinC?又A、B、C是?ABC的内角，故 C?45o?B或(C?45o)?B?180o(舍去) 所以A?B?C?(90?C)?(C?45)?C?180。 所以C?15. (18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．． 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可. 【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知：p?(1?0.5)?0.3，解得p?0.6。 oooo第 6 页 共 12 页
（I） 设所求概率为P1，则P1?1?(1?0.5)?(1?0.6)?0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。 （II） 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1?0.5)?(1?0.6)?0.2。 X:B(100,0.2).EX?100?0.2?20 所以X的期望是20人。 （19）如图，四棱锥S?ABCD中，AB//CD,BC?CD，侧面SAB为等边三角形，AB?BC?2,CD?SD?1. （Ⅰ）证明：SD?平面SAB; （Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小. 【思路点拨】本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。 （II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。 【精讲精析】计算SD=1，AD? 5,SA?2，于是SA2?SD2?AD2，利用勾股定理，可知SD?SA，同理，可证SD?SB 又SAISB?S， 因此，SD?平面SAB. （II）过D做Dz?平面ABCD，如图建立空间直角坐标系D-xyz， A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),S(,0,123) 2ruuur可计算平面SBC的一个法向量是n?(0,3,2),AB?(0,2,0) uuurruuurr|AB?n|2321rr?. |cos?AB,n?|?uuu?7|AB|?|n|27所以AB与平面SBC所成角为arcsin21. 7第 7 页 共 12 页
（20）设数列?an?满足a1?0且（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?11??1. 1?an?11?an1?an?1n,记Sn??bk,证明：Sn?1. k?1n【思路点拨】解本题突破口关键是由式子111??1.得到{}是等差数1?an?11?an1?an列，进而可求出数列?an?的通项公式.（II）问求出{bn}的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。 【精讲精析】 (I) {1}是公差为1的等差数列， 1?an11??(n?1)?1?n. 1?an1?a1所以an?n?1(n?N?) n1?an?1n1??nn?1?1?1 nnn?1(II)bn?nSn??bk?(k?11111111?)?(?)?L?(?)?1??1. 1223nn?1n?1 y2?1在y轴正半轴上的焦点，过F且（21）已知O为坐标原点，F为椭圆C:x?22斜率为-2的直线l与C交与A、B两点，点P满足 uuuruuuruuurOA?OB?OP?0. (Ⅰ)证明：点P在C上； （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 第 8 页 共 12 页
【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把uuuruuuruuurOA?OB?OP?0.用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明?APB,?AQB互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。 思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可. 【精讲精析】 (I)设A(x1,y1),B(x2,y2) y2?1联立得4x2?22x?1?0 直线l:y??2x?1，与x?22x1?6?26?2,x2? 4421,x1x2?? 24x1?x2?uuuruuuruuur由OA?OB?OP?0.得P(?(x1?x2),?(y1?y2)) ?(x1?x2)??2, 2?(y1?y2)??(?2x1?1??2x2?1)?2(x1?x2)?2??1 22(?1)2(?)??1 22所以点P在C上。 （II）法一：tan?APB?kPA?kPB1?kPAkPBy1?(?1)y?(?1)?222x1?(?)x2?(?)22 ?y?(?1)y?(?1)1?1?222x1?(?)x2?(?)22第 9 页 共 12 页
?3(x2?x1)4(x2?x1) ?33293x1x2?(x1?x2)?22同理 tan?AQB?kQB?kQA1?kQAkQBy2?1y1?1?22x2?x1?(?)22 ?y2?1y1?11??22x2?x1?(?)22?(x1?x2)4(x2?x1) ??3213x1x2?(x1?x2)?22 所以?APB,?AQB互补， 因此A、P、B、Q四点在同一圆上。 法二：由P(?22,?1)和题设知，Q(,1),PQ的垂直平分线l1的方程为22y??2x…① 22121,)，AB的垂直平分线l2的方程为y?x?…② 422421,) 88设AB的中点为M，则M(由①②得l1、l2的交点为N(?|NP|?(?2221311, ?)?(?1?)2?288832 2|AB|?1?(?2)2?|x2?x1|?|AM|?3222211233,|MN|?(, ?)?(?)?448288第 10 页 共 12 页
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