厦门大学高数上离线 作业答案 

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厦门大学网络教育2014－2015学年第二学期

《高等数学》（上）离线作业答案

一、 选择题(每小题3分，共18分) ??1?x2,x?11. f(x)??的定义域是（ C ）。

??x?1,1?x?2（A）??1,1? （B）??2,2?

（C）??2,2? （D）(??,?1)?(1,??) 2. 下列函数中，（ C ）是基本初等函数。

?2x2,x?0（A）y?? （B）y?2x?cosx

2x?1,x?0?（C）y?3x （D）y?cosx 3. 当x???时，下列变量中为无穷小量的是（ A ）。

sinxx2?1 （C）ln2x （D）（A）e （B） xx?1?xx2?14. 函数y?2的间断点是（ B ）。

x?3x?2（A）x?2 （B）x?1,x?2 （C）x??2 （D）x??1,x??2

?asinx,x?0?5. f(x)??1在x?0处可导，则a?（ B ）

x,x?0??2（A）0 （B）

1 （C）2 （D）1 26．函数y?f(x)在点x0处取得极值，则必有 （ C ）。 （A）f??(x0)?0 （B）f??(x0)?0 （C）f?(x0)?0或f?(x0)不存在 （D）f??(x0)?0

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二、 填空题(每空3分，共18分) 1. 过原点作抛物线y?x2?1的切线，则切线方程y? 0 。 2. 函数f(x)在x?1处连续，f(1)?0，且limx?1f(x)?3，则f?(1)= 3 。 x?13. 设y?(x?1)2e2x，则dy? 2(x+1)(x+2)e2xdx 。

4. 设f(x)?xex，则y?= (1?x)ex ，y??? (2?x)ex 。 5. 函数y?x?ln(1?x)在区间 (0,??) 内单调增,在区间 (?1,0) 内单调减。 ?x?e?1x?0?x?0 在x?0处连续，则k? 2 。 6．函数f(x)??k?sin2xx?0?x?

三、 计算题(每小题6分，共36分) 1??21．lim?2??。 x?1x?1x?1????1?2x?11?x1?2??lim??lim??解：lim?2。 ???x?1??x?1x?1x?1x?1?(x?1)?x?1?2???x?1??x?1?(x?1)?x?1??a2．lim(1?)x。

x??xx??axaa解：lim(1?)?lim?(1?)??ea。

x??x??xx??a3．设y?sin32x，求 解：

dy。 dxdy1??sin32x?3sin22x?cos2x??2 dx22x?? ?3sin22x?cos2x。 2x4．设y5?2y?x?3x7?0，求

dy。 dxx?0y?0 2

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1?21x6 解：方程两边求导 5yy??2y??1?21x?0，解得 y??。 42?5y46dy

dxx?0y?01?21x6?2?5y4?x?0y?01。 2?ex5．设f(x)???a?x0?x?1,求a的值，使f(x)为连续函数。

1?x?2 解： f(x)?ex在0?x?1内连续；f(x)?a?x在1?x?2内连续，

xf(x)?lime?e,limf(x)?lim?a?x??a?1， 在x?1处，lim??x?1x?1x?1x?1f(x)在x?1处，则有 e?a?1?a?e?1。

即当a?e?1时，f(x)为区间[0,2]上的连续函数。

6．设y?y(x)是由方程xy?ex?ey确定的函数，求dy。

ex?y解： 方程两边求导 y?xy??e?e?y?，则 y???

x?eyxyex?ydx。 dy?y?dx??yx?e

四、 (7分)讨论函数f(x)?e的连续性，若有间断点，判别其类型。 解：因为f(x)?e在x?0处无定义，故x?0是间断点，

f(x)?lime又 lim??x?0x?01x31x31x3???,limf(x)?lime??x?0x?01x3?0，所以x?0是函数f(x)?e1x3的第二类间断点。

五、 (7分) 求函数f(x)?x3?3x?1的极值点与极值。 解: 函数f(x)?x3?3x?1的定义域 ???,???。

f?(x)?3x2?3?3(x2?1)， 令f?(x)?0，解得驻点x??1

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x f?(x) f(x) ???,?1? + -1 0 3 (?1,1) 1 0 -1 ?1,??? + -

函数在区间???,?1?、?1,???内单调增加；在(?1,1)内单调减少； 在x??1处取得极大值yx??1?3 ，在x?1处极小值yx?1??1。

六、 (7分)欲用围墙围城面积为216平方米的一块矩形场地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多少尺寸，才能是所用建筑材料最省？

解: 设长为x米，宽为y米，则f?2x?3y,S?xy?216。即所用建筑材料

f(x)?2x?648648,故 f?(x)=2?2。 xx令f?(x)?0，解得x=18。又f??(18)?0，所以当x=18时，所以建筑材料最省，此时，y?12米。

七、 (7分) 证明方程x3?x?1?0在开区间(0,1)内有且仅有一个实根。 证明：设辅助函数 f(x)?x3?x?1，显然f(x)在[0,1]上连续，可导， f(0)??1,f(1)?1,左右端点函数值异号。

根据零点存在定理知，至少存在一点??(0,1)，使得 f(?)?0。 又 f?(x)?3x2?1?0,x?[0,1]，f(x)?x3?x?1为单调增函数，所以f(x) 有且仅有一个零点，即方程x3?x?1?0在开区间(0,1)内有且仅有一个实根。

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