2013届高三数学二轮复习 专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用教案

第2讲 数列求和及数列的综合应用

自主学习导引

真题感悟

1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?的前100项和为

A.

1009999101

B. C. D. 101101100100

?

1?

??anan＋1?

解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15，

a1＋4d＝5，??∴?5×5－1

5ad＝15，1＋?2?

∴?∴

?a1＝1?

，

??d＝1，

∴an＝a1＋(n－1)d＝n.

1

anan＋1n1

＝111

＝－， n＋1nn＋1

∴数列{答案 A

111111100}的前100项和为1－＋－＋…－＝1－＝. anan＋1223100101101101

2．(2012·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N＋，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N＋. (1)求an，bn；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解析 (1)由Sn＝2n2＋n，得 当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1. 所以an＝4n－1，n∈N＋.

由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N＋. (2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N＋，

- 1 -

所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1， 2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，

所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5. 故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N＋.

考题分析

数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活应用．

网络构建

高频考点突破

考点一：裂项相消法求数列的前n项和

2

【例1】(2012·门头沟一模)数列{an}的前n项和Sn＝n＋1.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝

1

(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.

an·an＋1

??S1，n＝1，

[审题导引] (1)运用公式an＝?

?Sn－Sn－1，n≥2，?

求an，注意n＝1时通项公式an；

(2)裂项法求和．

[规范解答] (1)由已知，当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，

??2， n＝1，

∴数列{an}的通项公式为an＝?

?2n－1， n≥2.?

(2)由(1)知，

- 2 -

1??6， n＝1，b＝?1?11?1

－＝， n≥2，???2n－12n＋12?2n－12n＋1??

n

1

当n＝1时，T1＝b1＝，

6当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn

11?111?11111－＝＋?－＋－＋…＋＝－， ?2n－12n＋1?34n＋262?355711

∴{bn}的前n项和Tn＝－.

34n＋2

【规律总结】

常用的裂项技巧和方法

用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向．突破这类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：

1?11?1

(1)＝?－?； nn＋kk?nn＋k?

(2)

1

m－1

mn＋k＋nkm1

＝(n＋k－n)；

(3)Cn＝Cn＋1－Cn；

(4)n·n！＝(n＋1)！－n！等．

[易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如

1111

容易误裂为－，漏掉前面的系数；

nn＋2nn＋22

(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 【变式训练】

1．(2012·大连模拟)已知函数f(x)＝(1)求数列{an}的通项公式an；

1n(2)若数列{bn}满足bn＝anan＋1·3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.

213，∴＝＋1. an＋3an＋1an11?11?113∴＋＝3?＋?，并且＋＝， an＋12?an2?a122

?11?3

∴数列?＋?为以为首项，3为公比的等比数列，

2?an2?

1132n－1

∴＋＝·3，∴an＝n. an223－1

n2·311

(2)bn＝n＝n－n＋1， n＋1

3－13－13－13－1解析 (1)由已知，an＋1＝

- 3 -

xx＋3

，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N＋)．

an

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝

111111

－2＋…＋n－n＋1＝－n＋1. 3－13－13－13－123－1

考点二：错位相减法求数列的前n项和

【例2】(2012·滨州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋1＝2Sn＋2(n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式；

?1?

(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成公差为dn的等差数列，求数列??的前n?dn?

项和Tn.

[审题导引] (1)利用递推式消去Sn可求an；

?1?

(2)利用错位相减法求数列??的前n项和．

?dn?

[规范解答] (1)由an＋1＝2Sn＋2(n∈N＋)， 得an＝2Sn－1＋2(n∈N＋，n≥2)， 两式相减得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n∈N＋，n≥2)， 又a2＝2a1＋2，

∵{an}是等比数列，所以a2＝3a1， 则2a1＋2＝3a1，

∴a1＝2，∴an＝2·3n－1.

(2)由(1)知an＋1＝2·3，an＝2·3.

n－1

4×3

∵an＋1＝an＋(n＋1)dn，∴dn＝，

n＋1

1111

令Tn＝＋＋＋…＋，

nn－1

d1d2d3dn234n＋10＋1＋2＋…＋n－1① 4×34·34·34·3

123nn＋1Tn＝＋＋…＋＋12n－1n② 34·34·34·34·3

22111n＋1

①－②得Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1－n

34·34·34·34·34·3

11?

1－n－1???

113?3?n＋152n＋5＝＋×－n＝－n. 2414·388·3

1－3则Tn＝

- 4 -