【规律总结】
错位相减法的应用技巧
(1)设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，求数列{anbn}的前n项和可用错位相减法． 应用错位相减法求和时需注意：
(2)①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.
【变式训练】
2．已知等差数列{an}满足：an＋1＞an(n∈N＋)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成为等比数列{bn}的前三项． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
a1a2an2n＋31
(2)设Tn＝＋＋…＋(n∈N＋)，若Tn＋n－＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．
b1b2bn2n解析 (1)设d、q分别为数列{an}的公差、数列{bn}的公比．
由题意知，a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，分别加上1、1、3得2、2＋d、4＋2d， ∴(2＋d)2＝2(4＋2d)，∴d＝±2. ∵an＋1＞an，∴d＞0，∴d＝2， ∴an＝2n－1(n∈N＋)，
由此可得b1＝2，b2＝4，∴q＝2，∴bn＝2n(n∈N＋)．
a1a2an1352n－1
(2)Tn＝＋＋…＋＝＋2＋3＋…＋n，①
b1b2bn222211352n－1∴Tn＝2＋3＋4＋…＋n＋1.② 22222
1111112n－1
由①－②得Tn＝＋＋2＋3＋…＋n－1－n＋1. 222222211－n－122n－112n－12n＋3
∴Tn＝1＋－n＝3－n－2－n＝3－n，
122221－
2
2n＋311
∴Tn＋n－＝3－＜3.
2nn2n＋31
∴使Tn＋n－＜c(c∈Z)恒成立的c的最小值为3.
2n考点三：数列与不等式的综合问题
- 5 -
【例3】已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a≠0，a≠1)． (1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求a的值； (3)在满足条件(2)的情形下，设cn＝
11－，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：an＋1an＋1－1
2
Tn＞2n－. [审题导引] 第(1)问先利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)把Sn与an的关系式转化为an与an－1之间的关系，判断数列的性质，求其通项公式；
(2)根据第(1)问，求出数列{bn}的前三项，利用b＝b1×b3列出方程即可求得a的值； (3)先求出数列{cn}的通项公式，根据所求证问题将其放缩，然后利用数列求和公式证明．
[规范解答] (1)当n＝1时，S1＝a(S1－a1＋1)， 得a1＝a.
当n≥2时，Sn＝a(Sn－an＋1)，
12
Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，
两式相减得an＝a·an－1，得即{an}是等比数列． 所以an＝a·an－1
an＝a. an－1
＝a.
n2
naan－1n(2)由(1)知bn＝(a)＋a，
a－1
2a－1bn＝a2n－a·ana－1
3
，
2
若{bn}为等比数列，则有b2＝b1b3，
而b1＝2a，b2＝a(2a＋1)，b3＝a(2a＋a＋1)， 132242
故[a(2a＋1)]＝2a·a(2a＋a＋1)，解得a＝，
21?1?n再将a＝代入bn，得bn＝??，结论成立，
2?2?1
所以a＝.
2
2
4
2
?1?n(3)证明 由(2)，知an＝??，
?2?
nn＋1
1122
所以cn＝－＝n＋n＋1 11??n＋1??n＋1－12＋12－1?2??2?????
- 6 -
11
＝2－n＋n＋1. 2＋12－1
11
所以cn＞2－n＋n＋1.
22
??????Tn＝c1＋c2＋…＋cn＞?2－＋2?＋?2－2＋3?＋…＋?2－n＋n＋1?
222222
?
??
?
?
?
111
＝2n－＋n＋1＞2n－.结论成立．
222
【规律总结】
数列与不等式综合问题的解题方法
(1)在解决与数列有关的不等式问题时，需注意应用函数与方程的思想方法，如函数的单调性、最值等．
(2)在数列的恒成立问题中，有时需先求和，为了证明的需要，需合理变形，常用到放缩法，常见的放缩技巧有：
1?111?1－①2＜2＝??；
kk－12?k－1k＋1?
11111②－＜2＜－； kk＋1kk－1k＋1③2(n＋1－n)＜
n111111
1
n＜2(n－n－1)；
④利用(1＋x)的展开式进行放缩． 【变式训练】
117
3．已知数列{bn}满足：bn＋1＝bn＋，且b1＝，Tn为{bn}的前n项和．
242
?1?
(1)求证：数列?bn－?是等比数列，并求{bn}的通项公式；
2??
12k(2)如果对任意n∈N＋，不等式≥2n－7恒成立，求实数k的取值范围．
12＋n－2Tn11
解析 (1)证明 对任意n∈N＋，都有bn＋1＝bn＋，
24
1?11?
所以bn＋1－＝?bn－?，
2?22?
?1?11则?bn－?是等比数列，首项为b1－＝3，公比为，
2?22?
1?1?n－1?1?n－11
所以bn－＝3×??，即bn＝3×??＋. 22?2??2?
?1?n－11
(2)因为bn＝3×??＋，
2?2?
1?n?11
所以Tn＝3?1＋＋2＋…＋n－1?＋
2?2?22
?1?3×?1－n?
?2?n?1?n＝＋＝6?1－n?＋.
12?2?21－2
12k因为不等式≥2n－7，
12＋n－2Tn
- 7 -
2n－7
化简，得k≥n，对任意n∈N＋恒成立，
2
2n－7
设cn＝n，
2
2n＋1－72n－79－2n则cn＋1－cn＝－n＝n＋1， n＋1222
当n≥5时，cn＋1≤cn，数列{cn}为单调递减数列； 当1≤n＜5时，cn＋1＞cn，数列{cn}为单调递增数列． 133而＝c4＜c5＝，所以n＝5时，cn取得最大值. 163232
2n－73
所以要使k≥n对任意n∈N＋恒成立，k≥. 232
名师押题高考
12n2
【押题1】在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前
n＋1n＋1n＋1an·an＋1
n项和Sn＝________.
解析 an＝2
1n(1＋2＋3＋…＋n)＝， n＋12
1?bn＝＝8?－?
nn＋1?nn＋1?
2·
2
∴数列{bn}的前n项和为
?1
Sn＝8??1－?＋?－?＋?－?＋…＋?－
22334nn＋1??
????
1??11??11?
?????
?1?
1??
??
＝8?1－答案
??
1?8n＝. n＋1??n＋1
8n n＋1
[押题依据] 求数列的通项公式与数列的前n项和都是高考的热点．本题综合考查了以上两点及等差数列的求和公式，考查数列知识全面，综合性较强，故押此题．
【押题2】已知数列{an}是首项a1＝1的等比数列，且an＞0，{bn}是首项为1的等差数列，又a5＋b3＝21，a3＋b5＝13. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列?
?bn?
?的前n项和Sn. ?2an?
解析 (1)设数列{an}的公比为q，{bn}的公差为d，
??q＋1＋2d＝21
则由已知条件得：?2
?q＋1＋4d＝13???d＝2
解之得：?
?q＝2或q＝－2?
4
舍去
，
.
∴an＝2
n－1
，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
- 8 -
(2)由(1)知
1
∴Sn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n.①
222221132n－32n－1∴Sn＝2＋3＋…＋n＋n＋1.② 22222
112222n－1
①－②得：Sn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1
222222
1??1?n－1?1－????1?2n－112??2??2n－11?11
＝＋?＋2＋…＋n－1?－n＋1＝＋－n＋1 2?22?22212
1－
2
12n＋3?1?n－12n－1
＝＋1－??－n＋1.∴Sn＝3－n. 222?2?
[押题依据] 数列求和中的错位相减法因运算量较大，结构形式复杂．能够较好地考查考生的运算能力，有很好的区分度，而备受命题者青睐．本题综合考查了等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和，难度中等，故押此题．
bn2n－1＝n. 2an2352n－32n－1
- 9 -
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