另一方法：
33333434原式?C44?C4?C53?L?C10?C53?LC10?C64?C6?L?C10?L?C10?C10?C11?330
mm?1m?1m?1m?1C?CCCCnnnnn（3）原式??m?1?m?m?1 CmCnCnCnn3．证明：左边?n!?m?n!?(n?m?1)?n!?m?n!?(n?1)!?Anm?1?右边, 所以等式成立。
(n?m)!(n?m?1)!(n?m?1)![(n?1)?m]!36334．解：(x?1?2)3?(1?x)，在(1?x)6中，x的系数C6(?1)??20就是展开式中的常数项。
3xx3另一方法： 原式?(x?1)6，T4?C6(?1)3??20
xa?0，则有C1C1种； 5．解：抛物线经过原点，得c?0，当顶点在第一象限时，a?0,?b?0,即?34?2a?b?0a?0，则有A2种；共计有C1C1?A2?24种。 当顶点在第三象限时，a?0,?b?0,即?4344?2a?b?06．解：把4个人先排，有A4，且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位
242 当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有A5，所以共计有A4A5?480种。
4《选修2-3》 第一章 计数原理 [提高训练C组]
一、选择题
n!n!?6?,n?3?4,n?7
(n?3)!(n?4)!?4!23322．D 男生2人，女生3人，有C30C20；男生3人，女生2人，有C30C20
1．B
2332 共计C30C20?C30C20
3．A 甲得2本有C6，乙从余下的4本中取2本有C4，余下的C2，共计C6C4 4．B 含有10个元素的集合的全部子集数为S?2，由3个元素组成的子集数
3TC1015?10?为T?C S2128225．A (a0?a2?a4)?(a1?a3)?(a0?a1?a2?a3?a4)(a0?a1?a2?a3?a4)
310，
44 ?(2?3)?(2?3)?1
22222106．D 分三种情况：（1）若仅T7系数最大，则共有13项，n?12；（2）若T7与T6系数相等且最大，
则共有12项，n?11；（3）若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n?13，所以n的值可能等于11,12,13文档收集自网络，仅用于个人学习 7．D 四个点分两类：（1）三个与一个，有C141（2）平均分二个与二个，有4；
2C4 22C4?7 共计有C?28．D 复数a?bi,(a,b?R)为虚数，则a有10种可能，b有9种可能，共计90种可能
二、填空题
1．9 分三类：第一格填2，则第二格有A3，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；
第一格填3，则第三格有A3，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；
11 / 17
11第一格填4，则第撕格有A3，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；
1共计有3A3?9
3332．165 C12?C6?C7?165
11123．180,30 a?0，C6C6C5?180；b?0,A6?30
1a9?rxr2r9?rr32r?93rr)?(?1)()aC9x4．4 Tr?1?C()(?，令?9?3,r?8
x222r928899)aC9?a?,a?4 21643222232225．13 C3?C3?C4?C5?L?Cn?363?1,C4?C4?C5?L?Cn?364,
(?1)(83223 C5?C5?L?Cn?...?Cn?1?364,n?13
5!6!77!???,m2?23m?42?0
m!(5?m)!m!(6?m)!10m!(7?m)!m2 而0?m?5，得m?2,C8?C8?28 7．0.956
0.9915?(1?0.009)5?1?5?0.009?10?(0.009)2?...?1?0.045?0.00081?0.956
6．28
7n8．?2 设f(x)?(1?2x)，令x?1，得a0?a1?a2?L?a7?(1?2)??1
令x?0，得a0?1，a1?a2?L?a7??1?a0??2 三、解答题
1．解：6个人排有A6种, 6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.
4(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有C7?35种插法， 6C74?25200种。 故空位不相邻的坐法有A6g6(2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插
262有A7种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有A6A7?30240种。
(3) 4个空位至少有2个相邻的情况有三类：
4①4个空位各不相邻有C7种坐法;
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C7C6种坐法; ③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有C7种坐法.
64122综合上述,应有A6(C7?C7C6?C7)?118080种坐法。
21242．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有A4?24；
若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，
22自动进入，不需要排列，即有C3A4?36；
若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，
11自动进入，不需要排列，即有C3A4?12；
所以有24?36?12?72种。
3．解：(1?2x)(1?3x)??(2x?1)(3x?1)
514413 ??[(2x)?C5(2x)?...][(3x)?C4(3x)?...]
5454 ??(32x?80x?...)(81x?108x?...)
12 / 17
5443
??(2592x9?81?80x8?32?108x8?...)98??2592x?3024x?...2n?2?8n?9?9n?1?8n?9?(8?1)n?1?8n?9 4．解：30n?11nn?12nn?1?Cn?Cn?18?18?L?Cn?18?Cn?18?Cn?1?8n?90n?11n?2n?1?64(Cn?Cn?L?Cn?18?18?1)?8(n?1)?1?8n?9
0n?11n?2n?1?M?64(记M?Cn?Cn?L?Cn?18?18?1)QM为整数，?64M能被64整除.
012n5．证明：Cn?2Cn?3Cn?...?(n?1)Cn
012n12n ?(Cn?Cn?Cn?...?Cn)?(Cn?2Cn?...?nCn)
12n?1?2n?n(1?Cn?1?Cn?1?...?Cn?1)?2?n?23nn?11
6．解：（1）Cn?7Cn,n(n?1)(n?2)?7n,n2?3n?40?0,由n?N*,得n?8；
6523443243（2）C7a?C7a?2C7a,21a?35a?70a,a?0
得5a?10a?3?0?a?1?44lgx44(1?lgx)（3）C8(2x)(x)?1120,x210； 5?1,lg2x?lgx?0
得lgx?0，或lgx??1 所以x?1,或x?1。 10
离散型随机变量解答题精选（选修2--3）
1.人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
⑴第3次拨号才接通电话； ⑵拨号不超过3次而接通电话.
解：设Ai?{第i次拨号接通电话}，i?1,2,3
⑴第3次才接通电话可表示为A1A2A3于是所求概率为P(A1A2A3)?9?8?1?1;
109810⑵拨号不超过3次而接通电话可表示为：A1?A1A2?A1A2A3于是所求概率为
1919813 P(A1?A1A2?A1A2A3)?P(A??????.1)?P(A1A2)?P(A1A2A3)?101091098102.出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.文档收集自网络，仅用于个人学习 ⑴求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
⑵求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。
解：⑴因为这位司机第一,二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯, 所以
1114
P?(1?)(1?)??.333271313 / 17
⑵易知?~B(6,). ∴E??6?1?2. D??6?1?(1?1)?4.
333333.奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望文档收集自网络，仅用于个人学习 1解：设此次摇奖的奖金数额为?元，当摇出的3个小球均标有数字2时，??6； 当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，??9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，??12。
31221所以，P(??6)?C8?7,P(??9)?C8C2?7,P(??12)?C8C2?1,E??6?(7?9?7?12?1?39)
33315151551515C10C1015C10答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是
39元 54.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中文档收集自网络，仅用于个人学习 ⑴三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ ⑵恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C，则P(A)?0.9,P(B)?0.8,P(C)?0.85 ⑴
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?[1?P(A)][1?P(B)][1?P(C)]?(1?0.9)(1?0.8)(1?0.85)?0.003 答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003
⑵P(A?B?C?A?B?C?A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)
?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?[1?P(A)]P(B)P(C)?P(A)[1?P(B)]P(C)?P(A)P(B)[1?P(C)]
?(1?0.9)?0.8?0.85?0.9?(1?0.8)?0.85?0.9?0.8?(1?0.85)?0.329 答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329
5．如图，A,B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取
三条网线且使每条网线通过最大的信息量.文档收集自网络，仅用于个人学习 ⑴设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x,当x?6时, 则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；
⑵求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
11511?C2?C21,解：⑴ ?1?1?4?1?2?3?6,?P(x?6)??1?2?4?2?2?3?7,?P(x?7)?? ?32044C6
321,?1?3?4?2?2?4?8,?P(x?8)??2?3?4?9,?P(x?9)??2011313?P(x?6)?????
442010420
,
1013 ,?1?1?3?1?2?2?5,P(x?5)?1020131131∴线路通过信息量的数学期望?4??5??6??7??8??9??6.5
1020442010⑵?1?1?2?4,P(x?4)?14 / 17
答：⑴线路信息畅通的概率是
3. ⑵线路通过信息量的数学期望是6.5 46．三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为1,3,3,将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接
244入电路.
⑴在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
⑵三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？ 请画出此时电路图，并说明理由.
解：记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3，则
133,P(A2)?,P(A3)?. 244⑴不发生故障的事件为(A2?A3)A1. P(A1)?∴不发生故障的概率为P1?P[(A2?A3)A1]?P(A1?A3)?P(A1)
11115 ?[1?P(A2)?P(A3)]?P(A1)?[1??]??44232⑵如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为(A1?A2)A3 ∴不发生故障概率为
21?P?P,21 32图2不发生故障事件为(A1?A3)A2，同理不发生故障概率为P3?P2?P1 P2?P[(A1?A2)A3]?P(A1?A2)?P(A3)?[1?P(A1)?P(A2)]P(A3)?7．要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：文档收集自网络，仅用于个人学习 ⑴其中至少有一件废品的概率；⑵其中至多有一件废品的概率. 解：设事件A?“从甲机床抽得的一件是废品”；B?“从乙机床抽得的一件是废品”.则P(A)?0.05,P(B)?0.1
⑴至少有一件废品的概率P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?1?0.95?0.90?0.145 ⑵至多有一件废品的概率
P?P(A?B?A?B?A?B)?0.05?0.9?0.95?0.1?0.95?0.9?0.995
8．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，⑴求该题被乙独立解出的概率；⑵求解出该题的人数?的数学期望和方差文档收集自网络，仅用于个人学习 解：⑴记甲、乙分别解出此题的事件记为A,B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.则P(A)?P1?0.6,P(B)?P2
P(A?B)?1?P(A?B)?1?(1?P1)(1?P2)?P1?P2?PP12?0.92,?0.6?P2?0.6P2?0.92,则0.4P2?0.32即P2?0.8
⑵
P(??0)?P(A)?P(B)?0.4?0.2?0.08P(??1)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.2?0.4?0.8?0.44
,
P(??2)?P(A)?P(B)?0.6?0.8?0.48 ?的概率分布为:
? 0 15 / 17
1 2
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