1?x?1?x
(2)若不等式??a?＋?b?－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 解 (1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，
?b·a＝6，?所以?3
?b·a＝24.?
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3. 所以f(x)＝3·2x.
1?x?1?x
?1?x＋?1?x
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，?＋－m≥0恒成立，即m≤?2??3??2??3?在(－∞，1]上恒成立．
1?x?1?x在(－∞，1]上均为减函数，所以y＝?1?x＋?1?x在(－∞，1]上也是又因为y＝?与y＝?2??3??2??3?1?x?1?x55?－∞，5?. 减函数，所以当x＝1时，y＝?＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是6??2??3??66
??3x－1，x<1，13．(2018·呼和浩特调研)设函数f(x)＝?x则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是
?2，x≥1，?
( )
2?2
，1 B．[0,1] C.?，＋∞? D．[1，＋∞) A.??3??3?答案 C
解析 令f(a)＝t，则f(t)＝2t.
当t<1时，3t－1＝2t，令g(t)＝3t－1－2t，则g′(t)＝3－2tln 2，当t<1时，g′(t)>0，g(t)在 (－∞，1)上单调递增，即g(t) 2 当t≥1时，2t＝2t成立，由f(a)≥1，得a<1，且3a－1≥1，解得≤a<1；a≥1，且2a≥1， 3解得a≥1. 2 ，＋∞?.故选C. 综上可得a的取值范围是??3? 14．若函数f(x)＝2|xa|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间[m，n]上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是______________． 答案 (0,4] 解析 因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1， 所以f(x)＝2|x1|. 作出函数y＝f(x)的图象如图所示． － ＋ 当m －1 与y＝21x的性质知 － 极限值为0.当m<1 15．设f(x)＝|2x1－1|，a 解析 f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1. 若c≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4； 若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a1>2c1－1， 即2c1＋2a1<2，即2a＋2c<4. 综上知，总有2a＋2c<4. 1λ 16．已知函数f(x)＝x－x－1＋4(－1≤x≤2)． 423 (1)若λ＝，求函数f(x)的值域； 2 (2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围． 1λ 解 (1)f(x)＝x－x－1＋4 42 1?2x ?1?x＋4(－1≤x≤2)． ＝?－2λ·?2??2?1?x12－2λt＋4?≤t≤2?. 设t＝?，得g(t)＝t?2??4?3 当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4 2371 t－?2＋?≤t≤2?. ＝??2?4?4? 1?53?3?＝7. 所以g(t)max＝g?＝，g(t)min＝g?4?16?2?4537所以f(x)max＝，f(x)min＝， 164753?故函数f(x)的值域为??4，16?. (2)方程f(x)＝0有解可转化为 11λ＝2·2x＋·x(－1≤x≤2)． 2211x? ≤2≤4， 设φ(x)＝2·2x＋x??2·2?21 当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2； 2当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝652，?. ∴函数φ(x)的值域为?8??652，?. 故实数λ的取值范围是?8?? 65 . 8 － － － － －
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