高中物理竞赛讲义——微积分初步

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高中物理竞赛讲义——微积分初步

一：引入

【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几

倍。

分析：

①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于

八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2 ；

②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a；三立方体的形状； K Q

根据点电荷的电势公式U= 及量纲知识，可猜想边长为a的立方体角点电势为

rU=

CKQ2

=Ckρa ；其中C为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q是总电a

3

2

量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa

a2CKρa

③ 大立方体的角点电势：U0= Ckρa ；小立方体的角点电势：U2= Ckρ（ ）= 24

2

大立方体的中心点电势：U1=8U2=2 Ckρa

2

1

；即U0= U1

2

【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。

二：导数

㈠ 物理量的变化率

我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=

下面我们从代数上考察物理量的变化率：

△v△t

v . t 【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,试求其t时刻的速

度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）

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分析：我们知道，公式v=△t 一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很小很小，才可近

似处理成瞬时速度。

2 2

s(t)=3t+2ts(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t)

222

△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t)-3t-2t=3△t+4t△t+2△t

3△t+4t△t+2△t

v= = =3+4t+2△t △t△t

当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。

△s

2

△s

【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系。

【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤： ①写出t时刻y0=f(t)的函数表达式；

②写出t+△t时刻y1=f(t+△t)的函数表达式； ③求出△y=y1- y0=f(t+△t)- f(t)；

④求出z=

△y△t

=f(t+△t)- f(t)

；

△t

⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。

㈡ 无穷小

当△t取很小时，可以用V=

△s△t

求瞬时速度，也可用i=

△Q

N△φ

求瞬时电流,用ε= 求△t△t

瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t：

△t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε>△t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：

t

第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t= ；

2t

第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t= ；

3t

第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t= ；

4…………

t

第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t= ；

N+1

…………

一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。或者，用数学形式表示为 lim△t=0。其中“lim”

?t?0?t?0表示极限，意思是△t的极限值为0。常规计算：

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①lim（△t+C）=C ②limC·△t=0 ③limf(△t)=f(0)

?t?0?t?0?t?0④lim f(t+△t)=f(t) ⑤lim?t?0sin(△t)

△t

?t?0 = 1

『附录』常用等价无穷小关系（x?0） ①sinx?x ；②tanx?x ；③1?cosx?12x ；④ln?1?x??x ；⑤ex?1?x 2㈢ 导数

前面我们用了极限“lim”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:

?t?0z=lim△y

?t?0△t

,并简记为z=

dy

,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常用d t

dxdvdqdФ

、a= 、i= 、ε=N 等，甚d td td td t

某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=至不限于对时间求导，如F=

dWFdUdm

、Ex= 、ρ= 等。 d xdxdl

这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用lim来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。

?t?0如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率

的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式： ⑴ 导数的四则运算

dudvuu

·v - u· d( )d td tvd(u±v)duvdv

① = ± ③ = 2

d td td td tvd(u·v)dudvu

② = ·v + u· d td td tv⑵ 常见函数的导数

①

dCdcost =0(C为常数)； ④ =-sint； dtdt

n

t

dtden-1t

② =nt (n为实数)； ⑤ =e；

dtdtdsint

③ =cost；

dt

⑶ 复合函数的导数

在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。

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