2019_2020学年高中数学第3章概率3.2古典概型讲义苏教版必修3

3.2 古典概型

学 习 目 标 1.理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件．(难点) 2．理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法．(重点) 核 心 素 养 1.通过求解概率锻炼学生的数据分析、数学运算核心素养． 2．利用古典概型的知识来解决实际问题，培养学生的数学建模核心素养.

1．在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件，若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．

2．我们把具有：(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的，两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

13．基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为. n4．在古典概型中，任何事件的概率P(A)＝，其中n为基本事件的总数，m为随机事件A包含的基本事件数．

1．下列对古典概型的说法不正确的是( ) A．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 B．每个事件出现的可能性相等 C．每个基本事件出现的可能性相等

D．基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝ B [正确理解古典概型的特点，即基本事件的有限性与等可能性．]

2．从1,2,3,4中任意取两个不同的数字组成两位数，则基本事件共有________个． 12 [基本事件为12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共12个．]

3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

5

[分别以1,2,3,4表示1只白球，1只红球，2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本6

事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个基本事件，2只球颜色不同的基5

本事件有5个，故所求的概率P＝.] 6

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mnkn4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．

1

[由题意，b>a时，b＝2，a＝1；b＝3，a＝1或2，即共有3种情况．又从{1,2,3,4,5}5

中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b共有5×3＝15种情况，故所求概率31为＝.] 155

(1)写出这个试验的基本事件； (2)求这个试验的基本事件的总数；

(3)“恰有2枚正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？

基本事件的计数问题 【例1】 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面． 思路点拨：由于本试验所包含基本事件不多，可以利用列举法．

[解] (1)这个试验的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．

(2)这个试验的基本事件的总数是8.

(3)“恰有2枚正面朝上”包含以下3个基本事件： (正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．

求基本事件的个数常用列举法、列表法、画树形图法，解题时要注意以下几个方面： (1)列举法适用于基本事件个数不多的概率问题，用列举法时要注意不重不漏； (2)列表法适用于基本事件个数不是太多的情况，通常把问题归结为“有序实数对”，用列表法时要注意顺序问题；(3)画树形图法适合基本事件个数较多的情况，若是有顺序的问题，可以只画一个树形图，然后乘元素的个数即可．

1．一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球． (1)共有多少个基本事件？

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(2)两个都是白球包含几个基本事件？

思路点拨：解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均为白色的基本事件数． [解] (1)法一：采用列举法分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下基本事件： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号球)．

法二：(采用列表法)

设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球． 列表如下：

a b c d e a (b，a) (c，a) (d，a) (e，a) b (a，b) c (a，c) (b，c) d (a，d) (b，d) (c，d) e (a，e) (b，e) (c，e) (d，e) (c，b) (d，b) (e，b) (d，c) (e，c) (e，d) 由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．

(2)解法一中“两个都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3)三种．解法二中，包括(a，b)，(b，c)，(c，a)三种．

2．做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：

(1)事件“出现点数之和大于8”； (2)事件“出现点数相等”； (3)事件“出现点数之和等于7”．

思路点拨：用列举法将所有结果一一列举出来，同时应把握列举的原则，不要出现重复和遗漏．

[解] (1)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．

(2)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．

(3)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．

【例2】 先后掷两枚均匀的骰子． 利用古典概型公式求解概率 - 3 -

(1)一共有多少种不同的结果？

(2)向上的点数之和是5的结果有多少种？ (3)向上的点数之和是5的概率是多少？ (4)出现两个4点的概率是多少？

思路点拨：基本事件个数有限→每个基本事件发生是等可能的→古典概型→利用P?A?＝求解

[解] (1)用一个“有序实数对”表示先后掷两枚骰子得到的结果，如用(1,3)表示掷第一枚骰子得到的点数是1，掷第二枚骰子得到的点数是3，则下表列出了所有可能的结果．

掷第二枚得 到的点 掷第一枚得 到的点数 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 1 2 3 4 5 6 mn从表中可以看出，先后掷两枚骰子的所有可能结果共有36种． 由于掷骰子是随机的，

因此这36种结果的出现是等可能的，该试验的概率模型为古典概型． (2)在所有的结果中，

向上的点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4种． (3)记“向上点数之和为5”为事件A， 41

由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝＝.

369(4)记“出现两个4点”为事件B． 因为事件B出现的可能结果只有1种，

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1

所以事件B发生的概率P(B)＝.

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古典概型的解题步骤 (1)阅读题目，搜集信息； (2)判断是否是古典概型；

(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m； (4)用公式P(A)＝求出概率并下结论．

3．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道题．

甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？

思路点拨：由题意知本题是一个等可能事件的概率．甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，共有90种抽法，即基本事件总数是90.

[解] 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90(种)，即基本事件总数是90.

记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数： 甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24.

mnP(A)＝＝. 4．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球、2个白球；乙袋装有2个红球、3个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球，求取到的4个球全是红球的概率．

思路点拨：本题求解基本事件的总数是关键，对于(甲，甲)的每一种结果，都有(乙，乙)的10种结果配对，所以{(甲，甲)，(乙，乙)}共有6×10＝60(个)基本事件．

[解] 试验的所有结果可以表示{(甲，甲)，(乙，乙)}．其中(甲，甲)表示从甲袋中取出的球，(乙，乙)表示从乙袋中取出的球，则从甲袋中取出的球有(红1，白1)，(红1，白2)，(红2，白1)，(红2，白2)，(红1，红2)，(白1，白2)，共6种不同的结果；

从乙袋中取出的球有(红1，白1)，(红1，白2)，(红1，白3)，(红2，白1)，(红2，白2)，

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(红2，白3)，(红1，红2)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，共10种不同的结果．

相对于(甲，甲)，(乙，乙)而言，就有60个基本事件．

1

记“取到的4个球为红球”为事件A，则事件A包含的基本事件只有1种，所以P(A)＝.

60

概率与统计的综合问题 【例3】 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率． 思路点拨：(1)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，求A．(2)对该部门评分不低于80的即为[80,90)和[90,100]，求出频率，估计概率．(3)求出评分在[40,60)的受访职工和评分在[40,50)的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能情况，利用古典概型公式解答．

[解] (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.

(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3； 受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，

A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因

1为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.

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有关古典概型与统计结合的题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．

5．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：

视力 数据 人数 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 2 4.5 4.6 2 4.7 4.8 2 4.9 1 5.0 5.1 1 5.2 5.3 (1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值； (2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．

思路点拨：(1)把高三(1)班这8个学生的视力值相加，再除以8，即得平均值．(2)用列举法求得抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法，进而可求概率．

[解] (1)高三(1)班学生视力的平均值为 4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1

＝4.7，

8

故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.

(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率102为P＝＝. 153

6．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售，该店统计了近10天的饮品销量，如图所示，设x为每天饮品的销量，y为该店每天的利润．

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(1)求y关于x的表达式；

(2)从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率． [解] (1)由题意，得

???8－3?x，0≤x≤19，x∈Z，y＝?

??8－3?×19＋?4－3?×?x－19?，x＞19，x∈Z，???5x，0≤x≤19，x∈Z，即y＝?

?x＋76，x＞19，x∈Z.?

(2)由(1)可知，日销售量不小于20杯时，日利润不少于96元．日销售量为20杯时，日利润为96元；

日销售量为21杯时，日利润为97元．

从条形统计图可以看出，日销售量为20杯的有3天，日销售量为21杯的有2天． 日销售量为20杯的3天，记为a，b，c，日销售量为21杯的2天，记为A，B，从这5天中任取2天，包括(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种情况．其中选出的2天日销售量都为21杯的情况只有1种，故所1

求概率为.

10

1．本节课的重点是了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件，会用列举法求古典概型的概率．难点是理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．

2．本节课要掌握以下几类问题 (1)基本事件的两种探求方法．

(2)求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点． (3)利用事件的关系结合古典概型求概率． 3．本节课的易错点有两个 (1)列举基本事件时易漏掉或重复． (2)判断一个事件是否是古典概型易出错.

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1．下列试验中，是古典概型的是( ) A．种下一粒种子观察它是否发芽

B．从规格直径为250 m±0.6 mm的一批合格产品中任意抽取一件，测得直径 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶

C [A中，一粒种子发芽和不发芽的可能性不相等，所以A不是；B中，每一件的直径不相同，即可能性不相等，所以B不是；D中，中靶和不中靶的可能性不相等，所以D不是；C中，出现正面和反面的可能性相等，且结果仅有两个，故选C．]

2．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．

2

[由于袋子中有2个白球和3个黑球，有放回地摸球，每次摸到白球的概率都是相等5

的，所以再摸出白球的概率为

22＝.] 2＋35

3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为________．

3

[利用列举法求出基本事件总数10个．求出取出的两本书都是数学书包含的基本事10

3

件个数3个，故所求概率P＝.]

10

4．先后抛掷两枚大小相同的骰子． (1)求点数之和出现7点的概率； (2)求点数之和能被3整除的概率．

思路点拨：分析题意，不难得知总的基本事件的个数为36个；记“点数之和出现7点”为事件A，则事件A中含有(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)共6个基本事件，即可求出对应的概率；同理，列举出点数之和能被3整除所包含的基本事件数，由概率公式可得答案．

[解] 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．

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(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：61

(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝＝. 366

(2)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，12(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝＝

361. 3

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