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由于此边界随时间不断向前推移，假设在第n时间计算步时，边界上各点在网格系统
nn中的坐标为（xM，yM）则坐标计算式为：
n?1nn??xM?xM?uM??t?n?1 （3-28） nn??yM?yM?vM??tnn（uM，vM）分别表示边界上第M个坐标点在n时刻，在x和y方向上的推移速度，
它们可以由动边界的连续条件求得，由式（3-19）有，
nnnn?p?pp?pnnnnKdKxM?1xM?1xMxMn?uM???e(xn?12)?xM??xM??M? （3-29） nnnnp?pp?pnnnn?nKdKyMyM?1xM?1xM??vM??e(yn?12)?yM??yM?M?3.3.1.5 裂缝壁面处的返排速度
??nbiKd?e(12)(nnpwi?pi,1?y1) （3-30）
3.3.2 求解方法
一般先求出三个区域的压力分布然后再求返排速度。为了得到停泵时刻的压力分布，需从压裂液开始滤失时计算，在此期间不需要考虑裂缝的扩展，即缝长Lf在停泵以后是不再变化的。求解过程如下：
第一步，计算的启动。在停泵后，得到裂缝的缝长为Lf不再变化。在此缝长围用pf作为定压边界，以储层原始压力分布作为初始条件并结合储层的边界条件，用强隐式方法求
?j。然后，在裂缝壁面处解式（3-26）所构成的五对角方程组，从而得到各网格点的压力pi,?和vM?，并计算出其推移距离，进而形成动边界。 求出压裂液的返排速度uM第二步，随着动边界的推移，在计算的n时刻可以将计算区域化为两大部分：第一部分为滤饼区，其压力分布由式（3-19）计算；第二部分为侵入区和储层区，通过动边界的推移距离来判断网格系统中的各点是处于侵入区还是储层区，然后在这些点分别采用式（3-27）和式（3-26）提供的格式，结果形成两组五对角矩阵方程。连同滤饼模型和边界条件，可以形成关于压力的耦合方程组。但是，滤饼的压降取决于返排速度和返排量，而返排速度方程（3-30）又是地层压力分布的函数，因此，就压力而言整个藕合方程组构成一
n个非线性系统，线化后可采用逐次超松弛法来求解，即得到pi,j的值。
第三步，得到pin,j后，再根据方程（3-28）和（3-29）求出动边界的推移距离，在给出
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n?1裂缝压力pfn和缝长Lf的条件下，重复第二步的计算方法，得到n+1时间步的压力分布pi,j。
以此重复，直至返排结束为止。
第四步，停泵后，缝长Lf不再变化，以停泵时刻的压力分布为初始值，给定pf的条件下，重复第二步和第三步，则可得到不同时刻的压力分布。根据压力分布，可求解出各时刻的返排速度和返排量，由式（3-19）可以看出，滤失量跟pf的变化有关，可写成V?f(pf)的形式。
根据上面的步骤便可以编制计算机程序进行计算。
后面便以实验和实例计算的方式验证模型的准确程度，并加以修正。
3.4 裂缝闭合时间及压裂液返排量的确定 3.4.1 裂缝闭合时间确定
由于关井时间一般比较长，缝中平均压力与井底压力基本处于平衡状态。对于裂缝而言，当裂缝中的平均压力值达到裂缝闭合压力时，可认为裂缝已基本上闭合。则裂缝闭合时有，
pf(tc)??s?pc （3-31）
式中，βs为关井后裂缝中的平均压力与井底压力之比，无因次；pc为闭合压力，MPa。前面己经求得了关井期间井底压力变化。根据上式，就可以在求出闭合压力。在均质、单层进行压裂时，闭合压力就等于压裂层的最小主应力。
3.4.2 压裂液返排量的计算
对于井筒及放喷油嘴中的一维流动，模型假设井筒中的返排液为牛顿流体，并忽略井筒的摩阻，排液油嘴的出口压力约等于一个标准大气压。对于恒定流，由伯努利方程则可得到放喷油嘴中不同时刻返排液的速度[44]：
??1?10?3?0.5r2?0.5?(1???2)?[p(t)?0.1]0.5 （3-32）
R由式（3-29）又可导出不同时刻的返排流量Q和累积返排量Vout，计算式分别如下：
Q?1?10?r??t32?0.5r2?0.5?(1???2)?[p(t)?0.1]0.5 （3-33）
R?0.5Vout??1?10?r??032r2?0.5?(1???2)[p(t)?0.1]0.5?dt （3-34）
R上面的式子中，?为返排液的密度，kg/m3；?为局部阻力系数，无量纲，在这里取，
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0.5；r，R为放喷油嘴和井筒的半径，m；p(t)为返排过程中井口的压力，Pa；其与井底压力的关系为p(t)?pf(t)?ph，其中，ph为井筒静液柱压力，Pa。
由式（3-30）可知，积分式中关于p(t)的函数为非线性函数，为了求解返排过程中不同时刻的累积返排量Vout，需采用复合梯形公式的形式将积分式进行离散，则有：
Voutn?1?t??0.5n0.5??[p(t0)?0.1]?(pf?pe?0.1)?2?(pfi?ph?0.1)0.5??CC （3-35） 2?i?1?其中：
CC?0.5?10?r??32?0.5r2?0.5?(1???2) （3-36）
R式（3-32）中，?t为时间步长，与前面计算井口压降和滤失量时的取法一致；上标i表示t0时刻；p(t0)表示刚返排时井口压力，如果返排是从停泵后立即进行的，那么p(t0)等于瞬时停泵压力ISIP。
从式（3-33）可以看出，在返排过程中，Vout是随井底压力pf而变化的。在tn时刻，t1至tn?1时刻的井底压力值已求出，则Vout仅是pf的函数，公式表示如下：
nVout?f(pfn) （3-37）
则根据注入阶段和闭合期间裂缝的流体体积平衡原理，就可以建立分析停泵后压力递减规律的拟三维模型。根据体积平衡原理，压裂液返排时，裂缝体积的变化量应该等于返排时刻起的压裂液总滤失量与返排量之和，公式表示如下：
?Vf?Vf(t0)?Vf(t)?Vl(t)?Vout （3-38）
式中，Vf(t0)和Vf(t)分别为刚返排和返排过程中某一时刻裂缝的体积，m3。
3.4.3 停泵后裂缝体积变化量的计算
在裂缝闭合期间，由于缝长和缝高不变，仅有缝宽变化。设刚停泵时井口压力为ISIP，则停泵后某时刻裂缝体积的变化量为：
2(1??2)Lf[ISIP?ph?pf(t)]H2 （3-39） ?Vf?E式中，ISIP为停泵时刻井口压力，Pa ；ph为井筒中静液柱产生的压力，Pa； 在裂缝参数和地层参数己经给定的情况下，上式中的?Vf为pf(t)的函数，表示为：
?Vf(t)＝f2(pf(t)) （3-40）
由以上的分析可以看出，Vout和?Vf都是pf(t)的函数，结合第二章对滤失量Vt的计算，
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在每一计算步对式（3-35）中的压力项迭代求解，就可以得到停泵后不同时刻的井底压力，进而得到井口的压力变化，即p(t)?pf(t)?ph。
3.5 实例计算与分析
根据前文介绍的关井期间井底或井口压力变化、裂缝闭合压力以及裂缝闭合时间的计算方法，对实例进行计算，以得出返排过程中的井口压力变化，并对计算结果进行分析。基本计算参数如表3-1，计算结果如图3-2所示。
表3-1 压裂液返排模拟计算中需要输入的基本参数
储层参数 有效厚度(m) 泊松比(无因次) 氏模量(Mpa) 闭合压力(MPa) 地层渗透率(μm2) 地层孔隙度(无因次) 侵入区渗透率(μm2) 侵入区孔隙度(无因次)
地层压力(MPa) 地层原油粘度(mPa?s)
裂缝净压(MPa) 综合压缩系数(MPa-1)
井控面积(m2) ---
参数值 19 0.16 17360 24 0.01~0.1 15%~20% 0.008~0.08 12 %~16% 20.23
压裂参数 裂缝高度(mm) 瞬时停泵压力(MPa) 井筒静液柱压力(MPa)
压裂排量(m3/min) 施工时间(min) 注入支撑剂体积(m3) 压裂返排液密度(kg/m3)
压裂液稠度系数(Pa?sn)
压裂液流态指数(无因次)
裂缝长度(m)
参数值 40 13.5 15 3.4 64.7 35.0 1120.0 0.01 0.85 100 5129 238 0.249 -0.713
9.3 1.5~4.5 0.00032 64000 ---
αc(无因次)
t0(min)
βc1(无因次) βc2 (无因次)
由图3-2可以看出，关井初期压力下降比较快。这是因为，此时裂缝中的压力值很大，单位时间压裂液向地层的滤失量比较多，相应地，单位时间裂缝体积的变化量也比较大，从而使井口压力的下降加快。随着关井时间的延长，缝中压力接近裂缝闭合压力时，井口压力下降趋于平缓，这因为此时缝中压力相对于刚停泵时小得多，单位时间压裂液滤失量及裂缝体积的变化量减少的缘故。这与实测压降曲线所显示的规律基本一致。
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13.512.1井口压力（MPa）10.79.37.96.55.1050010001500时间（s）井口压力200025003000
图3-2 关井期间井口压力预测曲线（k取0.02μm2，kd取0.016μm2）
由上面的数据经过计算还可以得到裂缝净压对返排过程中滤失速度的影响，如图3-3示。
20返排滤失速度(10-6m/s)15裂缝净压(4.5MPa)裂缝净压(3.0MPa)裂缝净压(1.5MPa)10501471013161922252831时间(min)
图3-3 裂缝净压对返排滤失速度的影响
由图3-3可以看出，压裂液在地层中的返排过程中的滤失速度随返排时间延长而减少，但在返排初期，返排滤失速度的减少比较快，返排一段时间后，返排滤失速度趋于稳定。这是因为在初始阶段，地层集聚了大量的能量，使得刚打开阀门返排时，裂缝中的净压比较大，导致压裂液返排滤失流速比较大，随后压力的逐渐被消耗，裂缝外的压力越来越小，没有太多的能量，返排滤失速度自然也就达到稳定。这与Williams等人提出的观点一致。其次，在同一时刻，返排过程中的滤失速度还随裂缝净压的增加而增加。
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