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标系，曲线 C 的极坐标方程为
2
2
2 cos 3 0 .
（1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）若 C 与 C2 有且仅有三个公共点，求
C1 的方程 .
1
23．[选修 4–5：不等式选讲 ]（10 分）
已知 f (x) | x 1| | ax 1| . （1）当 a 1时，求不等式 f (x) 1的解集；
（2）若 x
(0,1)时不等式 f ( x) x
成立，求 a
的取值范围 专业技术参考资料
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
B
A
B
D
A
B
D
C
A
B
A
13.6 14.
63
15.16 16.
3 3 2
17.（12 分）
解：（1）在 △ABD 中，由正弦定理得
BD
AB
sin A sin ADB
.
由题设知，
5
2
，所以 2
sin 45
sin ADB
sin
ADB .
5
由题设知，
ADB
90 2
23 ，所以 cos
ADB 1
25
5 .
（2）由题设及（ 1）知，
2
cos
BDC sin ADB
5
.
在△BCD 中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
BC BD DC
BD DC BDC
25 8 2 5 2 2
2 5
25. 所以
BC 5 .
18.（12 分）
解：（1）由已知可得， BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF .
又B
F 平面 ABFD ，所以平面 PEF⊥平面 ABFD .
（2）作 PH⊥EF，垂足为 H.由（1）得， PH⊥平面 ABFD .
以 H 为坐标原点， HF 的方向为 y 轴正方向， |BF |为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系
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H- xyz.
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由（1）可得， DE⊥PE.又 DP=2，DE=1，所以 PE= 3 .又 PF=1，EF =2，故 PE⊥PF. 可得 PH
3
, EH 2
3
2
.
则 H (0,0,0), P(0,0,
3 3 3 3 3 ), D( 1, ,0), DP (1, , ), HP (0,0, ) 为平面 ABFD 的法向量 . 2 2 2 2
2
3
设 DP 与平面 ABFD 所成角为
，则
HP DP
4
| | | HP | | DP | 3 4
.
sin
所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为
3 . 4
3
13.7（12 分）
解：（1）由已知得 F (1,0) ，l 的方程为 x=1.
2
由已知可得，点 A 的坐标为 (1, ) 或
2
所以 AM 的方程为
(1, 2 x 2
2 ) . 2
2 x 2
y
2 或 y
2 .
（2）当 l 与 x 轴重合时，
OMA OMB 0 .
OMA
OMB .
0) ， A(x , y ), B(x , y ) ，
1
1
2
2
当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以
当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设
则 x1
l 的方程为 y k(x 1)(k
2, x2 2 ，直线 MA，MB 的斜率之和为
y
1
y
2
k
MA
k
MB
.
x
1
x 2
2
2
由 y1 kx1 k, y2 kx2 k 得
2kx x
1 2
3k( x
1
x ) 4k
2
k
MA
k
MB
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.
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( x
1
2)( x
2
2)
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