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2020年研究生入学考试数学一试题含答案

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2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.(1)当x?0下列无穷小的阶最高的是((A)(C)

+

).

x

??

x

0

(et?1)dtsintdt

x

2

2

2

(B)(D)

?

0

ln1?t3dt

??sinx

2

0

?

1?cosx0

sin3tdt【答案】(D)【详解】(A)(

?

0

(et?1)dt)'?ex?1?x2(x?0?)

x0

(B)((C)(

?

ln(1?tdt)?ln(1?x)?x(x?0?)

3'332?

sinx

0

sint2dt)'?sin(sin2x)cosx?x2(x?0?)

sin3tdt)'?sin3(1?cosx)sinx?cx4(x?0?)

).

(D).(

?

1?cosx0

(2)函数f(x)在(?1,1)有定义,且limf(x)?0,则(

x?0

(A)若limx?0f(x)x?0,则f(x)在x?0可导;

(B)若lim

x?0

f(x)

?0,则f(x)在x?0可导;x2f(x)xx?0(C)若f(x)在x?0可导,则lim(D)若f(x)在x?0可导,则lim

x?0

?0;

f(x)

?0.2x【答案】(C)

【详解】(A)反例f(x)?|x|

?0,x?0

?

(B)反例f(x)??1,x?0

?0,x?0?

(D)反例f(x)?x

2

???f?f

,?1)(3)函数f(x,y)在(0,0)可微,f(0,0)?0,n?(,非零向量?与n垂

?x?y(0,0)

?

直,则()

?n?(x,y,f(x,y))x?y22?n?(x,y,f(x,y))x?y22(A)

(x,y)?(0,0)lim

存在(B)

(x,y)?(0,0)lim

存在

??(x,y,f(x,y))(C)

(x,y)?(0,0)???(x,y,f(x,y))存在(D)

(x,y)?(0,0)?lim

x?y22limx?y22存在

【答案】(A)

【详解】因为f(x,y)在(0,0)可微所以limx?0

y?0f(x,y)?fx??x?fy??yx?y22?0

又因为n?(x,y,f(x,y))?x?fx??y?fy??f(x,y)所以limx?0y?0?

x?fx??y?fy??f(x,y)x?y22?0

从而limx?0y?0x?fx??y?fy??f(x,y)x?y?22?0

n?(x,y,f(x,y))x?y?22即

(x,y)?(0,0)lim?0,故选(A).

(4)设R为幂级数

?ax

n?0

n

n

收敛半径,r为实数,则(

(A)当

?a

n?0

?

发散时,则|r|?R2nr

?

2n

(B)当

?a

n?0

?

2n

收敛时,则|r|?Rr2n

(C)当|r|?R时,则

?a

n?0

2n

r发散

2n

(D)当|r|?R时,则

?a

n?0

?

2n

r2n收敛

【答案】(D)

【详解】由级数收敛半径的性质得D正确。(5)设矩阵A经初等列变换得B,则((A)存在矩阵P,使得PA?B

).

(B)存在矩阵P,使得BP?A

(C)存在矩阵P,使得PB?A【答案】(B)

(D)AX?0与BX?0同解

【详解】由矩阵A经过初等列变换得B,从而存在可逆矩阵Q,使得AQ?B,从而

BQ?1?A,令P?Q?1,则BP?A,故选B.

(6)直线l1:向量

x?a2y?b2z?c2x?a3y?b3z?c3与直线l2:相交于一点,记????

a2b2c2a1b1c1

?ai????i??bi?,i?1,2,3,则(

?c??i?(A)?1可由?2、?3线性表示(C)?3可由?1、?2线性表示

(B)?2可由?1、?3线性表示(D)?1、?2、?3线性无关

【答案】(C)

【详解】由题知,两条直线的位置关系如下图:

????????

则可知AB??3??2,且又AB与?1和?2共面,

所以可由?1和?2线性表示.

从而?3??2可由?1和?2线性表示,即?3可由?1和?2线性表示.应选(C).

(7)设

A,B,C为三个随机事件,且P(A)?P(B)?P(C)?1,P(AB)?0,

1

,则A,B,C恰有一个事件发生的概率是(12

215(B)(C)(D)

32124

).

P(AC)?P(BC)?

(A)

3

4【答案】(D)【详解】

P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

=P(AB?C)?P(BA?C)?P(CA?B)

=P(A)?P(A(B?C))??P(B)?P(B(A?C))?P(C)?P(C(A?B))=P(A)?P(AB?AC)??P(B)?P(AB?BC)?P(C)?P(AC?BC)

=P(A)?P(AB)?P(AC)?P(B)?P(AB)?P(BC)?P(C)?P(AC)?P(BC)=

5

,故选D.12(8)X1,X2???X100为来自总体X的简单随机样本,其中P?X?0?=P?X?1??

1,2

).

?(X)为标准正态分布的分布函数,利用中心极限定理可得P{?Xi?55}近似值为(

i?1

100

(A)1??(1)(C)1??(0.2)【答案】(B)

【详解】

(B)?(1)(D)?(0.2)

111

EX?0??1??

222E(?Xi)?100EX?50

i?1100

EX2?

1

2DX?

14D(?Xi)?100DX?25

i?1

100

?X

所以,

i?1100

i

?50

?N(0,1)

5?100?

X?50????100??i?1i?

P??Xi?55??P??1???(1).故选B

5?i?1???????

二、填空题:9~14题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定的位置上.(9)极限lim?【详解】

?1?1

??=x?0ex?1ln(1?x)??

.?ln(1?x)?(ex?1)??11?

?ex?1?ln(1?x)?=lim?(ex?1)ln(1?x)?limx?0??x?0??x2x22

[x??o(x)]?[1?x??o(x2)]?1

?x2?o(x2)22=lim=lim=?122xxx?0x?0

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