2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.(1)当x?0下列无穷小的阶最高的是((A)(C)
+
).
x
??
x
0
(et?1)dtsintdt
x
2
2
2
(B)(D)
?
0
ln1?t3dt
??sinx
2
0
?
1?cosx0
sin3tdt【答案】(D)【详解】(A)(
?
0
(et?1)dt)'?ex?1?x2(x?0?)
x0
(B)((C)(
?
ln(1?tdt)?ln(1?x)?x(x?0?)
3'332?
sinx
0
sint2dt)'?sin(sin2x)cosx?x2(x?0?)
sin3tdt)'?sin3(1?cosx)sinx?cx4(x?0?)
).
(D).(
?
1?cosx0
(2)函数f(x)在(?1,1)有定义,且limf(x)?0,则(
x?0
(A)若limx?0f(x)x?0,则f(x)在x?0可导;
(B)若lim
x?0
f(x)
?0,则f(x)在x?0可导;x2f(x)xx?0(C)若f(x)在x?0可导,则lim(D)若f(x)在x?0可导,则lim
x?0
?0;
f(x)
?0.2x【答案】(C)
【详解】(A)反例f(x)?|x|
?0,x?0
?
(B)反例f(x)??1,x?0
?0,x?0?
(D)反例f(x)?x
2
???f?f
,?1)(3)函数f(x,y)在(0,0)可微,f(0,0)?0,n?(,非零向量?与n垂
?x?y(0,0)
?
直,则()
?n?(x,y,f(x,y))x?y22?n?(x,y,f(x,y))x?y22(A)
(x,y)?(0,0)lim
存在(B)
(x,y)?(0,0)lim
存在
??(x,y,f(x,y))(C)
(x,y)?(0,0)???(x,y,f(x,y))存在(D)
(x,y)?(0,0)?lim
x?y22limx?y22存在
【答案】(A)
【详解】因为f(x,y)在(0,0)可微所以limx?0
y?0f(x,y)?fx??x?fy??yx?y22?0
又因为n?(x,y,f(x,y))?x?fx??y?fy??f(x,y)所以limx?0y?0?
x?fx??y?fy??f(x,y)x?y22?0
从而limx?0y?0x?fx??y?fy??f(x,y)x?y?22?0
n?(x,y,f(x,y))x?y?22即
(x,y)?(0,0)lim?0,故选(A).
(4)设R为幂级数
?ax
n?0
n
n
收敛半径,r为实数,则(
)
(A)当
?a
n?0
?
发散时,则|r|?R2nr
?
2n
(B)当
?a
n?0
?
2n
收敛时,则|r|?Rr2n
(C)当|r|?R时,则
?a
n?0
2n
r发散
2n
(D)当|r|?R时,则
?a
n?0
?
2n
r2n收敛
【答案】(D)
【详解】由级数收敛半径的性质得D正确。(5)设矩阵A经初等列变换得B,则((A)存在矩阵P,使得PA?B
).
(B)存在矩阵P,使得BP?A
(C)存在矩阵P,使得PB?A【答案】(B)
(D)AX?0与BX?0同解
【详解】由矩阵A经过初等列变换得B,从而存在可逆矩阵Q,使得AQ?B,从而
BQ?1?A,令P?Q?1,则BP?A,故选B.
(6)直线l1:向量
x?a2y?b2z?c2x?a3y?b3z?c3与直线l2:相交于一点,记????
a2b2c2a1b1c1
?ai????i??bi?,i?1,2,3,则(
?c??i?(A)?1可由?2、?3线性表示(C)?3可由?1、?2线性表示
)
(B)?2可由?1、?3线性表示(D)?1、?2、?3线性无关
【答案】(C)
【详解】由题知,两条直线的位置关系如下图:
????????
则可知AB??3??2,且又AB与?1和?2共面,
所以可由?1和?2线性表示.
从而?3??2可由?1和?2线性表示,即?3可由?1和?2线性表示.应选(C).
(7)设
A,B,C为三个随机事件,且P(A)?P(B)?P(C)?1,P(AB)?0,
1
,则A,B,C恰有一个事件发生的概率是(12
215(B)(C)(D)
32124
).
P(AC)?P(BC)?
(A)
3
4【答案】(D)【详解】
P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)
=P(AB?C)?P(BA?C)?P(CA?B)
=P(A)?P(A(B?C))??P(B)?P(B(A?C))?P(C)?P(C(A?B))=P(A)?P(AB?AC)??P(B)?P(AB?BC)?P(C)?P(AC?BC)
=P(A)?P(AB)?P(AC)?P(B)?P(AB)?P(BC)?P(C)?P(AC)?P(BC)=
5
,故选D.12(8)X1,X2???X100为来自总体X的简单随机样本,其中P?X?0?=P?X?1??
1,2
).
?(X)为标准正态分布的分布函数,利用中心极限定理可得P{?Xi?55}近似值为(
i?1
100
(A)1??(1)(C)1??(0.2)【答案】(B)
【详解】
(B)?(1)(D)?(0.2)
111
EX?0??1??
222E(?Xi)?100EX?50
i?1100
EX2?
1
2DX?
14D(?Xi)?100DX?25
i?1
100
?X
所以,
i?1100
i
?50
?N(0,1)
5?100?
X?50????100??i?1i?
P??Xi?55??P??1???(1).故选B
5?i?1???????
二、填空题:9~14题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定的位置上.(9)极限lim?【详解】
?1?1
??=x?0ex?1ln(1?x)??
.?ln(1?x)?(ex?1)??11?
?ex?1?ln(1?x)?=lim?(ex?1)ln(1?x)?limx?0??x?0??x2x22
[x??o(x)]?[1?x??o(x2)]?1
?x2?o(x2)22=lim=lim=?122xxx?0x?0
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