高等几何复习题

高几复习题

1． 求仿射变换，它使点(0,0),点(2,3),(1,1),(1,?1)依次变成

(2,5),(3,?7)．

?x'?a11x?a12y?a1解：设所求仿射变换式为 ?y'?ax?ay?a

?21222将三对对应点坐标分别代入上式，解得 仿射变换式为

11??x??x?y?2?22 ??y???4x?6y?3

（注：不共线的三对对应点唯一确定仿射变换）

2． 求仿射变换，它使直线x?2y?1?0上每一点都不动，且将点(1,

?x'?a11x?a12y?a1解：设所求仿射变换式为 ?y'?ax?ay?a

?21222?1)变成点(?1,2)．

在直线x?2y?1?0上任取两点，将三对对应点坐标分别代入上式，

?x'?2x?2y?1?解得仿射变换式为 ?y'??3x?2y?3

??22

1

3．已知四直线l1、l2、l3、l4的方程顺次为：

x?2y?0,x?y?0,3x?y?0,2x?y?01）求证四直线共点； 2）求 (l1l2,l4l3)． 解：1）易见，四直线都通过原点，所以它们共线．

2)可以用斜率计算得

(l1l2,l4l3)?(k4?k1)(k3?k2)(k4?k2)(k3?k1)?23

思考斜率不存在怎么解决？（见下题）

4．已知四点A(1,2,?1),B(?1,1,2),C(3,0,?5),D(1,8,1)． 1）证明：A,B,1C,210D四点共线； 2）求交比(AC,BD)．

?12?0,?51?11218?12?01解：⑴ 因为 所以 A,?13

B,C,D四点共线．

D?A??2B

?2?23⑵ 设C?A??1B经计算：?1??2?1．

?1?(3? )

?)所以 (AB,CD)????3， 从而 (AC,BD2

2

5．已知四直线l1、l2、l3、l4的方程顺次为：

2x1?x2?x3?0,11x1?2x2?2x3?0,x1?x2?x3?0,x1?01）求证四直线共点； 2）求 (l1l2,l4l3)．

21?2－1?12?012111－10－11?00解： 1）∵

111

∴ l1、l2、l3、l4共点． 2）设l3?l1??1l2、l4?l1??2l2， 经计算 ?1=-3、?2?2

∵ (l1l2,l3l4)????3

2∴ (l1l2,l4l3)?(ll,ll)??2．

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6．求一维射影对应式，使直线l上坐标为0,1,次对应于l? 上坐标为?1,远点的对应点的坐标．

??x1'?a11x1?a12x2解：设所求一维射影对应式为： ??x'?ax?ax

211222?211?12132的三点依

0,?2的三点；并求l上无穷

将三对对应点的齐次坐标?0, 1????1, 1?，

3

?1, 1???0, 1?，?2, 1????2, 1?依次代入对应式，得

??x1'?4x1?4x2?' ，将l上的无穷远点?1, 0?代入上式，?x??3x?4x12?2得对应点齐次坐标为(?4, 3).

??x1'?4x1?x2?7．求二维射影变换??x2'?6x1?3x2??x'?x?x?2x123?3的不变点和不变直线．

解：1）特征根：u1?3,　u2??2（二重）．

(1 , 1 , 0), 2）不变点：u1?3 , 　　u2??2 ,　　 (0, 0 , 1)．

[?6 , 1 , 0]， 3）不变直线：u1?3 ,　　 即 6x1?x2?0

u２??2 ,　　 [1 , ?1 , 0]， 即 x1?x2?0．

（计算方法及过程见课件例题）

??2x1?2x2?x3??x1???x1?3x2?x3??x28．求二维射影变换的不变元素．

??x??x?2x?2x123?3解：1）特征值：?1?5,　?2?1（二重）．

(1,　1,　1)， 2）不变点：?1?5,　　?2?1，不变点列： x1?2x2?x3?0．

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