（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）； （Ⅱ）求η的分布列及期望Eη。
19．（本小题满分12分）
四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22，SA＝SB＝3。
（Ⅰ）证明：SA⊥BC；
（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。
20．（本小题满分12分） 设函数f（x）＝ex－e
－ x
。
（Ⅰ）证明：f（x）的导数f＇（x）≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围。
21．（本小题满分12分）
x2y2＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，已知椭圆32过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。
22x0y0＋?1； （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：32（Ⅱ）求四过形ABCD的面积的最小值。
22．（本小题满分12分）
1）已知数列{an}中a1＝2，an＋1＝（2－（an＋2），n＝1，2，3…。
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
第5页
（Ⅱ）若数列{bn}中b1＝2，bn＋1=
3bn＋4，n＝1，2，3，…，证明：
2bn＋3…。 2?bn?a4n?3，n＝，，1 23，
2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）
数学（理科）试卷
参考答案
一、选择题： 1．D 7．D
2．B 8．D
3．A 9．B
4．A 10．D
5．C 11．C
6．C 12．A
二、填空题： 13．36
x
14．3(x?R) 15．
1 3
16．23 三、解答题： 17．解：
（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB?1， 2由△ABC为锐角三角形得B?π。 6?????A? ??（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin???????cosA?sin??A?
?6?13?cosA?cosA?sinA
22第6页
????3sin?A??。
3??由△ABC为锐角三角形知，
???????A??B，?B???。 2222632????A??， 336所以
1???3。 sin?A???2?3?23??3??3sin?A????3， 23?2??33?。 ??2，?2??由此有
所以，cosA+sinC的取值范围为? 18．解：
（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。 知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
P(A)?(1?0.4)2?0.216，
P(A)?1?P(A)?1?0.216?0.784。
（Ⅱ）?的可能取值为200元，250元，300元。
P(??200)?P(??1)?0.4，
P(??250)?P(??2)?P(??3)?0.2?0.2?0.4，
P(??300)?1?P(??200)?P(??250)?1?0.4?0.4?0.2。
?的分布列为
? P
200 0.4 250 0.4 300 0.2 第7页
E??200?0.4?250?0.4?300?0.2
=240（元）。
19．解法一：
（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD。
因为SA=SB，所以AO=BO，
又∠ABC?45，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC， 故SA⊥AD，由AD?BC?22，SA?SO=1，SD?11。 △SAB的面积
3，AO?2，得
S 1S1?AB2连结DB，
?1?SA??AB??2。
?2?22C D A O B
得△DAB的面积S2?1ABADsin135?2 2设D到平面SAB的距离为h，由于VD?SAB?VS?ABD，得
11hS1?SOS2， 33解得h?2。
设SD与平面SAB所成角为?，则sin??h222。 ??SD111122。 11所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin第8页
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