2007年全国卷1高考理科数学试题及答案(河北 河南 山西 广西)

解法二：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结SO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD。 因为SA=SB，所以AO=BO。

又∠ABC?45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB。

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz，

z A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，?2，0)，S（0，0，1）0，)1，?，S，SA?(2 CB?(0，22，0)，SACB?0，所以SA⊥BC。

G C D A ?22?0?（Ⅱ）取AB中点E，E??2，2，?，

??连结SE，取SE中点G，连结OG，G?O E B y

x ?221?。 ??4，4，?2???221??22?AB?(?2，2，0)。 OG??，，SE?1?，??442???2，2，?，

????SEOG?0，ABOG?0，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直。

所以OG⊥平面SAB，OG与DS的夹角记为?，SD与平面SAB所成的角记为?，则

?与?互余。

D(2，22，0)，DS?(?2，22，1)。

cos??OGDSOGDS?2222，sin??，

1111所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin 20．解：

x?x（Ⅰ）f（x）的导数f?(x)?e?e。

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由于ex?e-x≥2exe?x?2，故f?(x)≥2。 （当且仅当x?0时，等号成立）。 （Ⅱ）令g（x）= f（x）-ax，则

y A D x

g?(x)?f?(x)?a?ex?e?x?a，

（ⅰ）若a≤2，当x>0时，g?(x)?e?e故g（x）在(0，∞?)上为增函数，

所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax。

x?xB ?a?2?a≥0， P F1 F2 O C a?a2?4（ⅱ）若a>2，方程g’（x）=0的正根为x1?ln，

2此时，若x?(0，x1)，则g’（x）<0，故g（x）在该区间为减函数。

所以，x?(0，x1)时，g（x）< g（0）=0，即f（x）

21．证明：

（Ⅰ）椭圆的半焦距c?3?2?1，

22由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x0?y0?1，

2222y0x0y0x21?≤???1。 所以，32222（Ⅱ）（ⅰ）当BC的斜率k存在且k?0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程

x2y2??1，并化简得(3k2?2)x2?6k2x?3k2?6?0。 32设B（x1，y1），D（x2，y2）B(x1，y1)，D(x2，y2)，则

6k23k2?6x1?x2??2，x1x2?2

3k?23k?2第10页

BD?1?k243(k2?1)x1?x2?(1?k)??(x2?x2)?4x1x2???3k2?2；

22因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为?1， k?1?43?2?1?43(k2?1)k??所以，AC?。 ?212k?33?2?2k四边形ABCD的面积

124(k2?1)2??(k2?1)296S?BDAC?≥?。

2(3k2?2)(2k2?3)?(3k2?2)?(2k2?3)?225??2??当k2=1时，上式取等号。

（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4。 综上，四边形ABCD的面积的最小值为 22．解： （Ⅰ）由题设：

96。 25an?1?(2?1)(an?2)

?(2?1)(an?2)?(2?1)(2?2) ?(2?1)(an?2)?2，

an?1?2?(2?1)(an?2)。

所以，数列an?2是首项为2?2，公比为2?1的等比数列，

??an?2?2(2?1)n，

即an的通项公式为an?n2?(2?1)?1???，n=1，2，3……。

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（Ⅱ）用数学归纳法证明。

（ⅰ）当n=1时，因2?2，b1=a1=2，所以

2?b1≤a1，结论成立。

（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即2?bk≤a4k?3， 也即0?bk?2≤a4k?3?3。 当n=k+1时，

bk?1?2?3bk?4?2

2bk?3?(3?22)bk?(4?32)

2bk?3(3?22)(bk?2)?0，

2bk?311??3?22，

2bk?322?3?又

所以 bk?1?2?(3?2b2k?)(2bk?3

2)?(3?22)2(bk?2) ≤(2?1)4(a4k?3?2) ?a4k?1?2。

也就是说，当n=k+1时，结论成立。

根据（ⅰ）和（ⅱ）知2?bn≤a4n?3，n?1，2，3，…。

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