回顾7 概率与统计
[必记知识]
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．
3．排列数、组合数公式及其相关性质 (1)排列数公式
An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝2)…·2·1(n∈N)．
*
mn！*n(m≤n，m，n∈N)，An＝n！＝n(n－1)(n－
（n－m）！
[提醒] （1）在这个公式中m，n∈N，且m≤n，并且规定0！＝1，当m＝n时，An＝n！. *
mn！m（2）An＝主要有两个作用：①利用此公式计算排列数；②对含有字母的排列（n－m）！
数的式子进行变形时常使用此公式.)
n！
m！（n－m）！
(2)组合数公式
Ann（n－1）（n－2）…（n－m＋1）n！*
C＝m＝＝(m≤n，n，m∈N)．
Amm！m！（n－m）！
mnm[提醒] (1)公式Cn＝
mn！
主要有两个作用：①利用此公式计算组合数；②对
m！（n－m）！
含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式. (2)组合数的性质,Cn＝Cn（m≤n，n，m∈N），Cn＋1＝Cn＋Cn（m≤n，n，m∈N）. (3)排列数与组合数的联系,An＝CnAm. 4．二项式定理 (a＋b)＝Cna＋Cnann0n1n－11
mn－m*mm－1m*
mmmn－kkn*
b＋…＋Ckb＋…＋Cnnanb(n∈N)．这个公式叫做二项式定理，右边
k的多项式叫做(a＋b)的二项展开式，其中各项的系数Cn(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式
- 1 -
中的Cnakkkn－kkn－
b叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Cknab(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．
5．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从
第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cn，Cn.
0
1
n－1n [提醒] 对于二项式定理应用时要注意 (1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正. (2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系. (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b. 6．概率的计算公式 (1)古典概型的概率公式
P(A)＝
事件A包含的基本事件数m；
基本事件总数n(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)对立事件的概率计算公式
P(A)＝1－P(A)．
7．统计中四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；
(3)平均数：样本数据的算术平均数， －1
即x＝(x1＋x2＋…＋xn)；
n(4)方差与标准差
1－2－2－22
方差：s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋…＋(xn－x)]．
n - 2 -
标准差：
s＝
1
n－2－2－2
[（x1－x）＋（x2－x）＋…＋（xn－x）].
8．二项分布
(1)相互独立事件的概率运算
①事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)P(B)．
②若事件A1，A2，…，An相互独立，则这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
－－－－
③事件A，B相互独立，则A和B，A与B，A与B也相互独立． (2)条件概率P(B|A)＝①0≤P(B|A)≤1.
②若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． ③若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (3)二项分布
如果在每次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生
kn－kk次的概率是P(ξ＝k)＝Ck，其中k＝0，1，…，n，q＝1－p，于是得到随机变量ξ的npqP（AB）
的性质
P（A）
概率分布列如下： ξ P 0 Cnpq 00n1 Cnpq11n－1… k Cnpqkkn－k… n Cnpq nn0 … … 我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并称p为成功概率．
[提醒] 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}CMCN－M发生的概率为P(X＝k)＝n，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，
CNkn－kM，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.
9．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝?bφμ，σ(x)dx(即直线x?a＝a，直线x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，
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记作X～N(μ，σ)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ.
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ③曲线在x＝μ处达到峰值
1
22
σ2π
.
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
[提醒] P（X≤a）＝1－P（X＞a）；P（X≤μ－a）＝P（X≥μ＋a）；P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.
[必会结论]
1．求解排列问题常用的方法 直接法 优先法 捆绑法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列产生的空中 “小集团”排列问题中，先整体，后局部 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正难则反，等价转化的方法 插空法 先整体， 后局部 除法 间接法 2.二项式系数的性质
(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn＝Cn. (2)增减性与最大值：二项式系数Cn，当k＜
kmn－mn＋1
2
时，二项式系数逐渐增大；当k＞
n＋1
2
时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)的展开式的各个二项式系数的和等于2，即Cn＋Cn＋…＋
nn0
1
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