目录
第一章 数与式 1.1数与式的运算
1.1.1 绝对值 乘法公式 1.1.2 二次根式 分式 1.1.3 1.1.4
1.2分解因式 第二章 二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2根与系数的关系
2.2 二次函数
2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2二次函数的三种表达方式 2.2.3二次函数的应用 2.3方程与不等式
2.3.1二元二次方程组的解法
第三章 相似形、三角形、圆
3.1相似形
3.1.1平行线分线段成比例定理
3.1.2相似三角形形的性质与判定 3.2三角形 3.2.1三角形的五心
3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理 3.3.2点的轨迹
3.3.3四点共圆的性质与判定 3.3.4直线和圆的方程（选学）
3.3圆
初中升高中数学教材变化分析
1.1数与式的运算 1.1.1 .绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反 数，零的绝对值仍是零.即
a, a |a|
0, a
0, 0,
a, a 0.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距 离.
例1解不等式：|x 1 x 3 >4.
解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ； ① 若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,
即 2x 4 >4,解得 XV0, 又 xv 1 ,
二 xv 0；
② 若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即 1> 4,
二不存在满足条件的x;
③ 若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 , 即 2x 4 >4,解得 x>4. 又x>3 二 x>4.
综上所述，原不等式的解为
xV0, 或 x>4.
解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A 之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的 距离 |PB|，即 |PB|= |x- 3|. |x3|所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即 为
|RA| + |PB|> 4. 由|AB|= 2,可知
点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点 D(坐标为4)的右侧.
xV0,或 x>4.
2
-
P 丄 x
C
0 1 V |x- 1|
L A 丄
B
L L
D
----
3 4
x
图 1. 1-1
初中升高中数学教材变化分析
练 习 1. 填空：
(1) 若 x 5，贝y x=
5,且a (2) 如果|a b 选
_若x 则b=
4，贝y x= _
____ ；若 1 c 2,则 C=
2
.
择题： 下 )
(A)
若a 若ba,
(B) 若a b，贝S a
3(C)
|x — 5|b，则—|2 Xa b— 13| (x>5). (D) 若a b，则a
. 化简： 1.1.2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
(1) 平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a2 2ab b2.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
(1) 立方和公式 有兴趣的同学可以自己去证明(a b)(a2 ab b2) 3 a .3 例(2) 1 计算：立方差公式(x 1)(x 1)( x 2
x 1)(x2 x b . 3；
(a b)(a2 ab b1). 2) 3 a b
(3) ;
解法 三数和平方公式:原式= (x2 1) (x 2
1)2 x2 (a b c)2 a2 b2 2 c 2(ab bc
(4) 两数和立方公式= (x2 1)(x
4 2
x
1)(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
；
(5)
两数差立方公式6
= x 1 .
(a b)3 a3 3a2b
3ab2 b3 .
解法对上面列出的五个公式
*
■.
原式=
(x 1)(x, 2 x 1)(x 1)(x x 1)2 =
(
x3 1)(x3 1)
= 6 x 1 .
例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a2 b2 c2 的值
解：
b c
2 a .2 2 (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习
1. 填
空： 1.2
1 2 a b ( 4 b ；a)
(( )； (12) 9
4 2
3 ) (4 m )2 16m2
4m ( )；
(3 ) (a 2b c)2 a2 4b2 c2 ( ). 选择题:
(1 )
x2 Imx k
平方式，
2.
2
3
ac)
；
初中升高中数学教材变化分析
(A) m2
(B) - m2
4
(C) - m2 数，
(D)丄 m2
16
(2 ) 不论a ,
(
b为何实
3
a2 b2 2a 4b 8 的值
(
（A ）总是正数 （C）可以是零
（B ）总是负数
（D）可以是正数也可以是负
数
1.1.3.二次根式
一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能 够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而 .2x2 彳x 1 , x2 、2x y , ■■ a2 等是有理式.
1.分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做 分母（子）有理化.为了进行分母（子） 有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果 它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与 .2 , 3'、a 与， -. 3 .6 与 方 .6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax 与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的 根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分 子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行， 运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成 分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2 .二次根式-a2的意义
a, a 0, a
a, a 0.
例1 将下J式子化为最简一次根式：
歹 (1) 両; (2) VOb(a 0）；
(3) J4x6y(x 0).
解： (1) ^A2b 2顶；
(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);
(3) 』4x6y 2 x^/y 例2 计算 :暑 (3 73). 解法
- . -
73 (3
2X3TT(X 0).
3 V3
4
初中升高中数学教材变化分析
3
=-3 (3 =3^3 3
9 3
. 3)
(3 . 3)(3、、3)
=3(、、3 1) 6
=.3 1
2
.3 (3、、3)=—
解法二：
= 丽 3^3 1)
_ 1 = _______________ = ,3 1
.3 1
3 V3
(.3 1)C 3 1)
试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃
110 ；
J2)_ 6^ _ 和 2.2— 6 . 、石)(.12 ；11)
.12 ,11
1 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '
解:
(1) V J2
.11
12 111
11 10
1
1110 -
(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10
又. .12、一 11 5^ ,10 ,
??? .,12 ,11 v .11.
(2)
.. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)2、2+ 6
2,2+「6’
又 4>2 2, _
? ° ?号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,
? 一2 v 2、、2—?、6.
.6 4
化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005
解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严
.2 ) 2004 (「3
.2)
=，2)2004 ( -.3 =51化简 (4 :
2004
，2)2004 (-. 3
2) = .3、、2 .
(1) .9 4*5 ；
= C3
(2)
、、2 C
x
2
1 x
2
2(0 x 1).
解: (1)原式
(2)原式={(x *)
.(5)2 2 2 -5 22
1 x
1 x，所以，原式=-
x
7(2 V5)2 2 7
??? 0
x 1 ,-
6 已知x
丄3 2 密茫，求3x2 5xy 3y2的值.
,y
、3 2 、3 <2
5
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