初中升高中数学教材变化分析
22
「X y ：3 ： ；〕2 (―) do， 解：
3
Xy
.3
2 2 2 2
2 3 2
, 2 , 3 . 2 1，
11 289 .
…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 10
练 习
1. 填空：
(1)
1 1
3
(2) 若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X的取值范围是
(3) 4.24 6,54 3 .96 2. 150 (4) 若X巨，则、厂 ''厂
2
2. 选择题:
.立
1
b的值. 3. 比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填
U，求 a a 1
(B)
(C)
(D)
N”.
0X2
4.
1.1.4 .分式
1.分式的意义 形如A的式子，若
B
B中含有字母，且B 0，则称A为分式.当MHO时，分
B
式A具有下列性质：
B
A A M
B B M '
A A M B B M *
上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式
a
像_^ , m n p这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_
n P
例1若空匕 A —，求常数A,B的值.
X(X 2) X X 2
6
初中升高中数学教材变化分析
解:
~A B
A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 ? ____ x(x 2) x(x 2) x(x 2) _
x x 2
解得 2,B .A B 5,
1 1 2A 4,
n(n 1) n (其中n是正整数);
(1 (2)
)试证：计算: 1 1 1 1 2
2 3
9 10 '
(3) 证明：对任意大于 的正整数n,有二 —
2 3 3 4
(1) 证明:
..1 1
(n 1)
n 1 ? -------
n n 1
n(n 1) n(n 1), . 1 1 n(n 1)
n 1 (其中n是正整数)成立.
(2) 解：由 (1)可知
丄L
1
1 9 10 -)( )1 2 1 1 2 3
1 2
2 3
— 1 1 1 _ (― 一)(2 3 — n(n 1)1
3
(3)证明:
1 1 2 3 3 4
1
又n》2且n是正整数，二
一定为正数,
.11, 1 1 ? ? 2 3 3 4 n(n 1)
L
V
2
且 e>1, 2c2 — 5ac + 2a2_0, 求e的值.
解：在2c2— 5ac+ 2a2_0两边同除以a2，得
2呂—5e+ 2_ 0,
? (2e— 1)(e— 2)_ 0,
? e1_
2 V 1,舍去；或 e= 2. ?- e_ 2.
习
1填空题: 对任意的正整数 n,
1
( n(n 2)
丄
2.
选择题: n
. 若
2x y x
) (A)
(B)
5
(C) 4
4
3正数x,y满足 x2 2xy，求 x y .
x
的值.
4计算丄- y
.
99 100
7
1
n(n 1)
9
10
_丄
_ 2
(D)
丄10
初中升高中数学教材变化分析
习题1. 1 A组
(1) x 1 3；
1.解不等式：
(2) x 3
x 2
7 ；
x 1 x 1 6 . (3) 2 .已知x y 1 , 求 x3 y3 3xy的值. 3填空：
. (1) (2 .3)18(2
__ ?
1 4
(2) 若,(T (3)
1 .2
a)2
1
,(1 a)2
1
2 , 则a的取值范围是
「5
1填空:
.
(1) a
(2)若 x xy 2y
2
2
3a2 2 ab 3a 5ab 2b
2
2 _________________
2
2已知：x .
1 2，y
0，则—xy y
x 2 _ __ ---------
y
小
y _
x . y 」y_的值.
x y
C组
)
若 (B) a b
)
1选择题: .
(
) (
(A) a b
( 2
( )
a b 2 一 ab 、、b a
则
(D) b 等
(C) a b 0 算
a 0
计
a :
于
(A) < ~
2
2.解方程2(x丄)
x 13
3(x -
(B ) ■- a 1
)1 0 .
x
9 11
1
(C)
-
(D) 、、a
3.计算：-——-
1 L 2 4 3 5
.
4.试证：对任意的正整数 n,有
1 2 3 2 3 4
1
L -
1 n(n 1)(n
1 2) —<-.
1.2因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解
法，另外还应了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1分解因式： (1) x2-3x + 2;
8
(2) x2 + 4x—
12;
初中升高中数学教材变化分析
（3） x2 （a b）xy aby2 ； （4） xy 1 x y .
解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x,就是 x2-3x + 2中的一次项，所以，有
x2- 3x+ 2 = （x- 1）（x- 2）.
—ay —by
图 1. 1 — 3 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图
1. 1- 1中
的两个x用1来表示（如图1. 1-2所示）.
(2) 由图1. 1-3,得
x2 + 4x- 12 = (x- 2)(x + 6). (3) 由图1. 1-4,得
2 2
x (a b)xy aby = (x ay)(x by) (4) xy 1 x y = xy+ (x- y) — 1
x
y ”
―1
1
=(x- 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).
课堂练习
一、填空题：
图 1. 1-5
1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 (2) 2 x 5x 6 (3) 2 x 5x 6 (4) 2 x 5x 6 (5) x2 a 1 x a (6) 2 x 11x 18 (7) 6x2 7x 2 (8) 4m2 12m 9 (9) 5 7x 6x2 2(10) 12x xy 6y2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
2、x2 4x ______________ x 3 x ________________ 3、若 x2 ax b x 2x4 则 a , b
（每二、选择题： 、题四个答案中只有一个是正确的） 小 2
1、在多项式 (1) x 7x 6 (2) x2 4x 3 (3) x2 6x
(5) x2 15x 44中，有相冋因式的是（
A、只有(2) B、只有（3） （4） （1） C、只有(5) D、（1）和（2）; （3）和（ （3） 2、分解因式 a2 8a ib 33b2 得( ) A、a 11 a 3 B、a 11b a 3b C、a 11b a
2
20分解因式得（ ） a b 3、 a b 8
。
8
⑷
2
x 7x 10
)
4)(3) 和 (5)
；
3b
D、 a 11b a 3b
9
初中升高中数学教材变化分析
a b 2 A、 a b 10 B、a b 5 a b 4 C、a b 2 D、 a b 4 a b 5 a b 10 4、若多项式 x2 3x a可分解为x 5 x b，则 a、 b的值是 ( ) A、a 10 , b 2 B、a 10 , b 2 C、a 10, b 2 D、a 10, b 2 5、若 x2 mx 10 x a x b其中a、 b为整数, 则 m的值为 ( ) A、3 或 9 B、 3 C、 9 D 、3或 9 三、把下列各式分解因式 231、6 2p q 2、a 5a2b 6ab2 11 q 2p 3 3、2寸 4y 6
4、 b 2b 8
4 2
2.提取公因式法
例2 分解因式：
(1) a2 b 5 a 5 b (2) x3 9 3x2 3x
解： (1) . a2 b 5 a 5 b =a(b 5)(a 1) (2) x 9 3x 3x =(x 3x ) (3x 9) =x (x 3)
3 2 3 2 2
3(x 3)
x3 9 3x2
=(x 3)( x2 3).
或
3x = (x3 3x2 3x 1) 8 = (x 1)3
2 2 2
8 = (x 1)3 23
课堂练习: 一、填空题：
2 2
1、多项式6xy 2xy 4xyz中各项的公因式是
=[(x 1) 2][(x 1) (x 1) 2 2 ] = (x 3)(x
3)
x x y ? 2、m x y n y
23、 m x y n y 2 x x y ?
4、 m x y z n y z x x y z ? 5、 m x y z x y z x y z ?
( )
2 2 3
3x 36x 15x 3x x 2x 5
、 ( )
n n 1 n 1 ,
4x x x x 1 ............................... 、 ( )
o
c )
o
o
10
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