初中升高中数学教材变化分析
3:公式法
例 3 分解因式：
2
(1) a4 16
2
(2) 3x 2y 2 x y 2
y)(2x 3y)
解：(1) a4 16 = 42 (a2)2 (4 a2)(4 a2) (4 a2)(2 a)(2 a)
(2) 3x 2y x y =(3x 2y x y)(3x 2y x y) (4x 课堂练习 ~、 a2 2ab
2332a a b的公因式是 b， b， 2
，错误的打上“X” ) 、判断(正确的打上 1、题： 2 2
4 0.01 2 3
x 0.1 9 x
8b2
3a
2
4b
29 a2
)
(
16b
5a 4b 5a 25a2
)
(
2
2
y
x )
( b c
a2
)
五、把下列各式分解 1、
2
n
3、 4 x2
4x 4.分组分解法
例 4
(1) x2 xy 3y 3x
(2) 2x2 xy y2
2 3 x 0.1 -x 0.1 ........................ 3a 4b 3a
3
4b .............................
4b
2、
3x2 4、
(2) 2x2 xy y2
4x 5y 6 . 2
4x 5y 6 =2x
(y 4)x y2
5y 6
11
2x2 1
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=2x (y 4)x (y 2)( y 或 2x2 xy y2 4x 5y 6 2 3) = (2x y 2)( x y 3). =(2x xy 6 2 y2) (4x 5y) 6 = (2x y)(x y) (4x 5y) = (2x y 2)(x y 3). 课堂练习：用分组分解法分解多项式(1) x2 y2 a2 (2) a2 4ab 4b2 6a 12b 9
b2 2ax 2by
2 ax2 bx c 0(a 0)
ax2 bx c(a 0)a(x xj(x x?)
x2 2x 1
2 x 2x 1
5.关于x的二次三项式ax+bx+c(az0的因式分解. 若关于x的方程的两个实数根是捲、
就可分解为 .
例5把下列关于x的二次多项式分解因式:
X2，则二次三项式
(1)
解：(1) 令
(2) x2 4xy 4y2 .
； =0,则解得为 1 /2 , X
2
1 迈,
?2 x 2x 1= x ( 1 x (1 ^2) ?
=(x 1 2)( x 1 . 2).
(2) 令 2 x 4xy 4y2=0,则解得x (2 2) y , 人(2 ?? 2 x 4xy 4y 2 = [x 2(1 , 2) y][ x 2(1 -.2) y].
^2)y,
练 习
1.选择题:
多项式2x2 xy 15y的一个因式为 ( (A) 2x 5y (B) x 3y (C) x 3y (D) x 5y
2.分解因式： 23
(1) x + 6x+ 8; (2) 8a—
b3; (3) x2 — 2x— (4) 4(x y 1) y(y 2x).
1; 习题1. 2
1.分解因式：
(1) a3 1 ；
(3) b2 c2 2ab 2ac 2bc ；
(2) x2 2、2x 3 ；
(4) (x2 2x)2 7( x2 2x) 12 .
(2) 4x4 13x2 9 ；
(4) 3x 5xy 2y x 9y
ab bc ca，试判定ABC的形状.
111
2 2
5. (尝试题)已知 abc=1, a+b+c=2,
2 在实数范围内因式分解：
(1) x2 5x 3 ； (3) 3x2 4xy y2;
12
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a2+b2+c2=，求—1—+
丄 +—1 的
ab c-1 bc a-1 ca b -1
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2.1 —兀二次方程 2.1.1根的判别式
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法， 如求方程的根(1) x2 2x 3 0(2) x2 2x 1 0 (3) x2 2x 3 0}
我们知道，对于一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0 (a^0,用配方法可以将其变 形为
(x
b )2 b2 4ac 2a
)
4a2
因为a^Q 所以，4a2 >0.于是
(1) 当b2- 4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不 相等的实数根
b2 4ac 2a
(2) 当b2- 4ac= 0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数 根
b
X1 = X2= ---- ；
2a
(3) 当b2-4acv0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边 (x —)2
2a 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.
由此可知，一元二次方程 ax2+bx+ c= 0 (a^Q的根的情况可以由b2-4ac 来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2 + bx+ c= 0(a^Q的根的判别式， 通常用符号“A来表示.
综上所述，对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a^Q,有
方程有两个不相等的实数根 X1, 2= —坯； △> 0 时, (1)
2a
(2)
方程有两个相等的实数根 X1 = X2 = △= 0 时,
b
(3) 方程没有实数根. △v 0 时,
例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实 数根，写出方程的实数根.
(2) x2 — ax -1 = (1) x2 — 3x+ 3= 0;
20; (3) x- ax+ (a - 1) = 0;
解：(1)v △= 32-4X1X3=-3v 0,二方程没有实数根.
(2) 该方程的根的判别式 △= a2 - 4XX - 1) = a2+ 4> 0,所以方程一定有 两个不等的实数根
14
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Xi
a “a2 4 X2
a .a2 2
4 (3) 由于该方程的根的判别式为
△= a2 — 4X1 X(a— 1) = a2— 4a + 4 = (a —2)2,
所以，
① 当a= 2时，△= 0,所以方程有两个相等的实数根
X1 = X2 = 1 ；
② 当a^2时，△>0,所以方程有两个不相等的实数根
xi = 1, X2= a— 1.
(3)由于该方程的根的判别式为
△= 22— 4X1 Xa = 4—4a=4(1 —a), 所以
① 当△>0,即4(1—a) >0,即av 1时，方程有两个不相等的实数根
为 1 , 1 a , x2 1 , 1 a ;
② 当△= 0,即a= 1时，方程有两个相等的实数根 X1 = X2 = 1 ；
③ 当△v0,即a>1时，方程没有实数根.
说明：在第3, 4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而 变化，于是，在解题过程中，需要对 a的取值情况进行讨论，这一方法叫做 分 类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的 解题中会经常地运用这一方法来解决问题.
2.1.2根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程a/+bx+ c= 0 (aM0有两个实数根
b X1
b2 4ac 2a
X2
b .b2 4ac
2a
则有
X1 X2 X1X
b b2 4ac b b2 4ac 2a b2 4ac b2 2a 2b 2a b a 2a b 、 b2 4ac b 2a (b2 4ac) 4ac 4a2 4a2 K
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax2 + bX + c= 0 (az0的两根分别是X1, X2，那么X1 + X2=
-,X1 X2
a
=c .这一关系也被称为 韦达定理.
a
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