初中升高中数学教材变化分析
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+ q= 0,若X1, X2是其 两根，由韦达定理可知
X1 + X2 = — p, X1 X2= q,
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即 p=- (Xi + X2), q = Xi X2,
所以，方程 x2 + px+ q= 0 可化为 x2- (Xi + X2)x+ Xi X2= 0,由于 Xi, x?是一元 二次方程x2+px+ q = 0的两根，所以，Xi, X2也是一元二次方程x2-(Xi + X2)x + Xi X2 = 0 ?因此有
以两个数Xi , X2为根的一元二次方程(二次项系数为 i)是
X2- (Xi + X2)X + Xi X2= 0.
例2已知方程5x2 kx 6 0的一个根是2,求它的另一个根及k的值. 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k的值， 再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来 解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利 用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k的值.
解法一：v 2是方程的一个根，二5空+ k疋一6 = 0,二k=- 7.
所以，方程就为5x2-7x-6= 0,解得Xi = 2, X2=--.
5
所以，方程的另一个根为一3 , k的值为一7.
5
解法二：设方程的另一个根为Xi,贝S 2xi = - 6，二Xi = --.
5
5
由 (一3 )+ 2=- k，得 k=-7.
5
5
所以，方程的另一个根为一3 , k的值为一7.
5
例3 已知关于x的方程x2 + 2(m-2)x + m2+ 4= 0有两个实数根，并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大 2i,求m的值.
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 2i得 到关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给 的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.
解：设Xi , X2是方程的两根，由韦达定理，得
xi + X2=- 2(m-2), Xi X2= m2+ 4. v Xi2 + X22 — Xi X2= 2i, ? ? ?(Xi + X2)2 — 3 Xi X2= 2i, 即 [—2(m-2)]2- 3cm2 + 4)= 2i, 化简，得 m2- i6m- i7= 0, 解得 m=- i,或 m= i7.
当m=- i时，方程为x2+6x+ 5= 0, △>0,满足题意；
当 m= i7 时，方程为 x2+ 30x + 293= 0, △= 302-4Xi^293< 0,不合题意， 舍去.
综上，m= i7.
说明：(i)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所 对应的m的范围，然后再由 两个实数根的平方和比两个根的积大 2i”求出m的 值，取满足条件的m的值即可.
i5
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(i) 在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的
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判别式△是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实 数根.
例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.
分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也 可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.
解法一：设这两个数分别是x, y, 贝 S x+ y=4, ①
xy=-12.
由①，得 y= 4— x, 代入②，得
x（4 — x）=— 12, 即 x2 2— 4x— 12 = 0, 二X1 = — 2, x2 = 6.
.x 2,
X2 6,
… c 或 c y1 6, y2 2.
②
因此，这两个数是—2和6.
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2 — 4x— 12= 0的两个根. 解这个方程，得X1 = — 2, X2= 6. 所以，这两个数是—2和6.
说明：从上面的两种解法我们不难发现， 解法二（直接利用韦达定理来解题） 要比解法一简捷.
例5若X1和X2分别是一元二次方程2乂 + 5x— 3 = 0的两根.
（1）求| X1 — X2|的值； （2）求 2 丄的值；（3） X13 + X23.
X1 X2
解：T X1和X2分别是一兀二次方程2x2 + 5x— 3= 0的两根,
.
5
3
…X! X2 , X-|X2
2 2
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经
(1) 常会 遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设X1和X2分别是一元二次方程ax2 + bx+ c= 0 （a^0,贝卩
「?I X1-X2|= 7 .
(2)
1
2
1 X
X
2 1
X
2 2
(x1 x2)
2
/ 5\\2 (
2% x2 2)
2 ( |)2 ( 2
2 2
XX
2 2 1 2
皿)
3 25 c
3 37 4 9 9
4
(3) X13+ X23 =(X1 + X2)( X12 — X1X2 + X22)=(X1 + X2)[ ( X1 +
=(——)>K — —)2-3>(
3)]=—
215 8
T | X1 — X2I2 = x/+ X22 — 2 X1X2 =(X1 + X2)2 — 4 X[X2= ( —)2 4 ( —) = —
— + 6
2 2 4
4
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Xb ；b2 4ac b ；b2 4ac i
2a
,X2
2a 二 | X1 — X2 = b x/b2 4ac b . b2 4ac 2、b2 4ac 2a
2a
2a
■- b2 4ac |a|
|a|
于是有下面的结论:
若X1和X2分别是一元二次方程ax2 + bx+ c= 0 (aH0,则| X1 — X2|^ —(其
|a|
中△= b2— 4ac).
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时， 可以直接利用上面的结论. 例6若关于x的一元二次方程x2 — x+ a—4= 0的一根大于零、另一根小于 零，求实数a的取值范围.
解：设X1 , X2是方程的两根，则 X1X2= a— 4v 0, 且△= (— 1)2 —4(a — 4)>0.
由①得2.
填若方程av 4, 空：由②得
17 av才.??? a的取值范围是
练 习 方程mx2+ x— 2m = 0 (m^0的根的情况是 1. 选择题：以一 3和1为根的一元二次方程是 ________
(1)方程X2 2、、3kx 3k2 0的根的情况是
( ) (A) 有一个实数根
(B )有两个不相等的实数根 (C) 有两个相等的实数根
(D)没有实数根 (2)若关于 x的方程mX2 + (2m+1)x+ m= 0有两个不相等的实数根，则实
数
m 值 范 围(
) / 1
(A) mv - (B) m> ——1
4
4
(C)
1
r
m(D) m> ----- ，且 mH0
x2
v ——，且 3x— m1 H= 00 的两根分别是X1和X2，则丄4 丄=
X1 x2
(2)
(3) ________
已知a2 8a 16 |b 1| 0,当k取何值时，方程kx2+ax+ b= 0有两个不相等 的实数根？
3. 已知方程x2
— 3x— 1= 0的两根为X1和X2，求(X1 — 3)( X2— 3)的值. 4.
20
是
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