(完整版)初高中数学衔接教材(已整理)

3.4. 初中升高中数学教材变化分析

习题2.1 A组

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初中升高中数学教材变化分析

1选择题：

1)已知关于x的方程x2+ kx— 2= 0的一个根是1,则它的另一个根是()

A) — 3 ( B) 3 (C)— 2 (D) 2 (2) 下列四个说法：

① 方程X2+ 2x— 7= 0的两根之和为一 2,两根之积为一 7; ② 方程x2— 2x+ 7= 0的两根之和为一2,两根之积为7;

③ 方程3 x2— 7 = 0的两根之和为0,两根之积为 -;

3

④ 方程3 X2+ 2x= 0的两根之和为一2,两根之积为0. 其中正确说法的个数是 () (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 (3) 关于x的一元二次方程ax2 — 5x+a2+ a = 0的一个根是0,贝卩a的值是

(A) 0

或—1

2 .填空：

(1) ______________________________________________ 方程kx2+ 4x— 1 = 0的两根之和为—2,则k= ________________________________ .

方程2x2 — x— 4= 0的两根为a, 贝

y a+修= .

(3) 已知关于x的方程x2 — ax— 3a = 0的一个根是一2,则它的另一个根 (2)

是 _________ .

(4) _________________________________________________ 方程 2x2 + 2x— 1 = 0 的两根为 x1 和 x2，则 | x1 — x2|= _______________ .

3. 试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程 m2x2— (2m+ 1) x+ 1 = 0有两

个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ 4. 求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x2 — 7x— 1 = 0各根的相反数.

B组 1 .选择题：

若关于x的方程X2+ (k2— 1) x+ k+ 1 = 0的两根互为相反数，则k的值为()

(A) 1,或—1

( B) 1

(C)— 1

(D) 0

2 .填空：

(1) 若m, n是方程x2+ 2005x— 1 =0的两个实数根，则m2n+ mn2— mn的值 等于 ___________ .

(2) 如果a, b是方程x2 + x— 1 = 0的两个实数根，那么代数式 a3+￡b + ab2

+ b3的值是 ____________ .

3. 已知关于x的方程x2 — kx— 2= 0.

(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；

(2) 设方程的两根为X1和X2,如果2(X1 +血)>X1X2,求实数k的取值范围.

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(B) 1 (C)— 1

() (D) 0,

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4. 一元二次方程ax2 + bx+ c= 0 (aM0的两根为X1和X2.求：

(1) | X1 — X2和 x 生;(2) X13 + X23.

2

5. 关于x的方程x2+4x+ m= 0的两根为捲仆2满足|捲一x?| = 2,求实数m的值.

C组

1. 选择题:

(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程~~2x2 — 8x+ 7= 0的两根， 则这个直角三角形的斜边长等于 ( )

(A ) .3 (B) 3 (C) 6 (D) 9 (2)若X1 , X2是方程 2x2 — 4x + 1 = 0 的两个根，则凶 生的值为

X2 X

( )

(A) 6

(B) 4

(C) 3

(D) |

(3)如果关于x的方程x2— 2(1 — m)x+ m2 = 0有两实数根a,厲贝S a+B的取

(A) a+ B 专 (B) a+ B 弓 (C) a+ 1 ( D) a+ 1

(4) 已知a, b, c是AABC的三边长，那么方程cx2 + (a + b)x + - = 0的根的4

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值

范 围 为 (

)

情 况 是 (

) (A)没有实数

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根 (B )有两个不相等的实数根

(C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根

2. _______________________________________________________________ 填空：若方程x2— 8x+ m= 0的两根为x1, x2，且3x1 + 2x2 = 18,则m= ________ . 3. 已知冷，X2是关于x的一元二次方程4kx2 — 4kx+ k+ 1 = 0的两个实数根.

(1) 是否存在实数k,使(2x1 — x?)( X1—2 X2)=—-成立？若存在，求出k的

2 值；若不存在，说明理由； (2)

的值为整数的实数k的整数值；(3)若k= — 2, 试求的值.

求使* x2 — 2

互,

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2

4. 已知关于X的方程x2 (m 2)x m 0 .

4

(1) 求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

(2) 若这个方程的两个实数根xi, X2满足|X2|= |xi| + 2,求m的值及相应的xi, X2 . 5. 若关于x的方程x2+ x+ a= 0的一个大于1、零一根小于1,求实数a的取值 范围.

2. 2 二次函数

2.2.1二次函数y= ax2+ bx+ c的图象和性质

情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图 (1) y x2 (2) y x2 (3) y x2 2x 3

问题1函数y = ax2与y= x2的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出 y=2x2, y= gx2, y=- 2x2的图象，通 过这些函数图象与函数y= x2的图象之间的关系，推导出函数 y= ax2与y= x2的 图象之间所存在的关系.

先画出函数y = x2, y= 2x2的图象. 先列表： ??? ??? -3 -2 -1 x 3 0 1 2 x2 9 4 r 1 0 1 4 :9 ??? ??? 2x2 ??? 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了. 再描点、连线，就分别得到了函数 y=x2, y= 2x2的图象(如图2- 1所示)， 从图2- 1我们可以得到这两个函数图象之间的关系： 函数y= 2x2的图象可以由 函数y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y= -x2, y=- 2x2的图象，并研

2 究这两个函数图象与函数y=x2

的图象之间的关系.

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y= ax2(a^ 0的图象可以由y= x2的图象各点的纵 坐标变为原来的a倍得

到.在二次函数y= ax2(az 0中，二次 项系数a决定了图象的开口方向和在同y = 2(x+ 1)2 + 1 一个坐标系中的开口 的大小. y= 2(x+ 1)2

问题2函数y= a(x+ h)2 + k与y= ax2的图象之间存在怎 样的关系？ y= 2x2 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来 研究它们之间的关系.同学们可以作出函数 y = 2(x+ 1)2 + 1 与y= 2x2的图象(如图2-2所示)，从函数的同学我们不难

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图 2.2-2