又当x＜0时，－x＞0， ∴f(－x)＝x2＋4x. 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2－4x(x＜0)，
?
∴f(x)＝?0，x＝0，
?－x2－4x，x＜0.
①当x＞0时，由f(x)＞x得x2－4x＞x，解得x＞5； ②当x＝0时，f(x)＞x无解；
③当x＜0时，由f(x)＞x得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0. 综上得不等式f(x)＞x的解集用区间表示为(－5，0)∪(5，＋∞)． 3
【答案】 (1)B (2)－2 (3)(－5，0)∪(5，＋∞)
【点拨】 解题(1)的方法是根据函数的奇偶性列出关于f(1)和g(1)的方程组求g(1)；题(2)是利用函数的奇偶性、对数函数、对数式与指数式的运算，结合方程思想和转化思想求参数的值；解题(3)的关键是求出f(x)的解析式，然后分段解不等式．
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
(1)(2011·湖北，3)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)
x2－4x，x＞0，
＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
1
A． ex－e－x B.2(ex＋e－x) 11
C.2(e－x－ex) D.2(ex－e－x)
(2)(2011·广东，12)设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________． (1)【答案】 D x∈R时，f(x)＋g(x)＝ex，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝e－x， 又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 所以f(x)－g(x)＝e－x，②
ex－e－x
由①②可解得g(x)＝2.故选D. (2)【解析】 方法一：∵a3cos a＋1＝11， ∴a3cos a＝10.
∴f(－a)＝(－a)3cos(－a)＋1 ＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.
方法二(换元法)：令φ(x)＝x3cos x，很明显φ(x)是奇函数， ∴f(x)＝φ(x)＋1， ∴f(a)＝φ(a)＋1， ∴f(－a)＝φ(－a)＋1，
∴f(a)＋f(－a)＝φ(a)＋φ(－a)＋2，
∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＋11＝2，f(－a)＝－9. 【答案】 －9
考向3 函数的周期性及其应用
周期函数的几个结论 周期函数y＝f(x)满足：
(1)f(x＋T)＝f(x)，则|T|为f(x)的一个周期； (2)f(x＋T)＝－f(x)，则|2T|为函数f(x)的一个周期； (3)f(x＋T)＝
1
，则|2T|为f(x)的一个周期； f（x）
(4)f(x＋T)＝－
1
，则|2T|为f(x)的一个周期； f（x）
1＋f（x）
(5)f(x＋T)＝，则|4T|为f(x)的一个周期；
1－f（x）1－f（x）
(6)f(x＋T)＝，则|2T|为f(x)的一个周期；
1＋f（x）
(7)函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x)，则2|b－a|为f(x)的一个周期．
应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．
(1)(2014·课标Ⅱ，15)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
f(3)＝3，则f(－1)＝________．
(2)(2014·安徽，14)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的?x（1－x），0≤x≤1，?29??41??解析式为f(x)＝则f ?4?＋f ?6?＝________．
?????sin πx，1＜x≤2，
【解析】 (1)因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
3??29???3??41?(2)∵f(x)是以4为周期的奇函数，∴f ?4?＝f ?8－4?＝f ?－4?，f ?6?＝f
????????7???7??8－6?＝f ?－6?. ????
∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)， 3?3?3?3?
∴f ?4?＝4×?1－4?＝16.
????∵当1 ?? 3?3??3?又∵f(x)是奇函数，∴f ?－4?＝－f ?4?＝－16， ?????7??7?1 f ?－6?＝－f ?6?＝2， ????5?29??41?13????∴f 4＋f 6＝2－16＝16. ???? 5 【答案】 (1)3 (2)16 【点拨】 解题(1)的关键是由题设得出f(x)是周期为4的函数；解题(2)的关键是根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内，再结合奇函数的性质求解． 函数周期性的判断与应用 (1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为|T|，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)如果函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，且f(x)是偶函数，那么f(x)一定是周期函数． (3)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． (1)(2011·大纲全国，9)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时， ?5?f(x)＝2x(1－x)，则f ?－2?＝( ) ?? 11A．－ B．－ 2411C.4 D.2 (2)(2012·江苏，10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1] ?ax＋1，－1≤x<0，?1??3?上，f(x)＝?bx＋2其中a，b∈R.若f ?2?＝f ?2?，则a＋3b的值为 ???? ?x＋1，0≤x≤1， ________． (1)【答案】 A ∵f(x)是周期为2的奇函数， ?5??5?－∴f ?2?＝f ?－2＋2? ?????1??1?＝f ?－2?＝－f ?2? ????1?1?1＝－2×2×?1－2?＝－2. ??
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