A．335 B．338 C．1 678 D．2 012
【答案】 B 由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋?＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋?＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.
思路点拨：本题的解题关键是根据函数的周期性，把f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2 012)化到一个周期内计算．
8．(2014·山东，9，难)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝x2 C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
【答案】 D 由题意可得准偶函数的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y轴的对称轴．选项A，C中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数的图象的对称轴为y轴，只有选项D中函数的图象存在不是y轴的对称轴．
方法点拨：若f(x)＝f(2a－x)对定义域内任意x恒成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，反之亦然．
9．(2012·重庆，12，易)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________． 【解析】 方法一(特值法)：由函数f(x)为偶函数得 f(1)＝f(－1)，
即(1＋a)·(1－4)＝(－1＋a)·(－1－4)， 所以a＝4.
方法二(定义法)：f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝(x－a)－(x＋4)＝f(x)＝(x＋a)(x－4)，∴a＝4.
【答案】 4
10．(2011·安徽，11，中)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.
【解析】 ∵f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3，
∴f(1)＝－f(－1)＝－3. 【答案】 －3
考向1 函数奇偶性的判断
1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意偶函数 一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意奇函数 一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫作奇函数 2．奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (3)若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
(4)既是奇函数又是偶函数的函数只有一个类型，即f(x)＝0，其中定义域是关于原点对称的非空数集．
(1)(2013·广东，2)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2
＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)(2014·课标Ⅰ，5)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】 (1)(定义法)根据奇、偶函数的定义可知，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，y＝x3与y＝2sin x为奇函数，故选C.
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
(2)(利用函数奇偶性的定义判断)对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝ －h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错；
对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错；
对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函数，C正确；
对于D：令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，∴h(x)为偶函数，D错．
【答案】 (1)C (2)C
【点拨】 解题(1)(2)的关键是利用奇偶函数的定义判断．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(2)图象法
(3)性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面
结论： f(x) 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 g(x) 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数
所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
【答案】 D 因为f(x)＝2x＋2－x，所以f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)．又f(x)＝2x＋2－x的定义域为R，故f(x)＝2x＋2－x为偶函数．易证A，B选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而C选项中的函数为奇函数．
考向2 函数奇偶性的应用
(1)(2013·湖南，4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)
＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)(2014·湖南，15)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. (3)(2013·江苏，11)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
【解析】 (1)由函数的奇偶性可得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则?－f（1）＋g（1）＝2，
?联立解得g(1)＝3. ?f（1）＋g（1）＝4，
(2)函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝1＋e3x1＋e3x2ax
ln(e＋1)＋ax，化简得ln3x6x＝2ax＝ln e，即3x6x＝e2ax，整理得e3x＋1
e＋ee＋e
3x
f(x)＋g(x) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 f(x)－g(x) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 f(x)g(x) 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 3
＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－2.
(3)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
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