2019年高考数学一轮复习平面解析几何第2节两条直线的位置关系学案文北师大版

第二节 两条直线的位置关系

[考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．

(对应学生用书第112页)

[基础知识填充]

1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与

l2

??A1x＋B1y＋C1＝0，

的交点坐标就是方程组?

?A2x＋B2y＋C2＝0?

的解．若方程组有唯一解，则两直线相

交；若方程组无解，则两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线重合． 3．距离

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2| 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 |P1P2|＝x2－x12＋y2－y12 d＝|Ax0＋By0＋C| 22A＋B|C1－C2| 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝2A＋B2[知识拓展] 1．直线系方程

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． 2．两直线平行或重合的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1

＝0.

3．两直线垂直的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) |kx0＋b|

(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( ) 2

1＋k (4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( )

(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( ) A．2 C．2－1

B．2－2 D．2＋1

|a－2＋3|

C [由题意得＝1，即|a＋1|＝2，又a>0，∴a＝2－1.]

23．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________． (2，－2) [直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，

??x＋y＝0，由???－2x＋y＋6＝0，

解得x＝2，y＝－2，

所以直线l恒过定点(2，－2)．]

4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________. 2 [由

【导学号：00090269】

aa－3

＝－2，得a＝2.]

5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 6m14

2 [∵＝≠，∴m＝8，

34－3

直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0， ∴两平行线之间的距离d＝

|－3－7|

＝2.] 22

3＋4

(对应学生用书第113页)

平行”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

两条直线的平行与垂直 (1)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

(2)(2018·潍坊模拟)过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( ) A．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－5＝0

B．2x＋y－5＝0 D．x－2y＋7＝0

(1)A (2)A [(1)当a＝1时，显然l1∥l2，

若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2. 所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件． 1

(2)直线x－2y＋3＝0的斜率为，从而所求直线的斜率为－2.

2 又直线过点(－1,3)，

所以所求直线的方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.]

[规律方法] 1.判断直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B2C2≠0时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．

[变式训练1] 已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线

A1B1C1

A2B2C2

x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )

A．－10 C．0

B．－2 D．8

4－m A [∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.

m＋2

?1? 又∵l2⊥l3，∴?－?×(－2)＝－1，

?n?

解得n＝－2，∴m＋n＝－10.]

为________．

两直线的交点与距离问题 (1)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程

(2)过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线

段AB以P为中点，求此直线l的方程．

(1)x＋3y－5＝0或x＝－1 [法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝

k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.

|2k－3＋k＋2||－4k－5＋k＋2|

由题意知＝，

k2＋1k2＋11

即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，

3

1

∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

3

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意． 1

法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为

3

y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)， ∴直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]

(2)设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，则直线l与l2的交点B(6－x0，－y0)，

2分

13

??2x0－y0－2＝0，

由题意知?

?6－x0－y0＋3＝0，?

11

x＝，??3解得?16

y＝??3，00

6分

16－031116?? 即A?，?，从而直线l的斜率k＝＝8， 11?33?

－33 直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.

10分

12分

[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．

2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等． 1

[变式训练2] (1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实

2数k的取值范围是________. 【导学号：00090270】

(2)(2018·石家庄模拟)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1

与l2间的距离为________．