2021年中考数学复习题 (132)

2021年中考数学复习题

10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论： ①∠ECF＝45°； ②△AEG的周长为（1+√22）a；

③BE2+DG2＝EG2；

④△EAF的面积的最大值是1

8a2；

⑤当BE=1

3a时，G是线段AD的中点． 其中正确的结论是（ ）

A．①②③

B．②④⑤

C．①③④

【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH． ∵BE＝BH，∠EBH＝90°， ∴EH=√2BE， ∵AF=√2BE， ∴AF＝EH，

∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠FAE＝∠EHC＝135°， ∵BA＝BC，BE＝BH， ∴AE＝HC，

∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH， ∵∠ECH+∠CEB＝90°，

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D．①④⑤

∴∠AEF+∠CEB＝90°， ∴∠FEC＝90°，

∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，

如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCH， ∴∠ECH＝∠BCD＝90°， ∴∠ECG＝∠GCH＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS）， ∴EG＝GH，

∵GH＝DG+DH，DH＝BE， ∴EG＝BE+DG，故③错误，

∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，

设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF=√2x，

∴S△AEF=?（a﹣x）×x=?x2+ax=?（x2﹣ax+a2?a2）=?（x?a）2+a2， ∵?2＜0，

∴x=2a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，

81

1

1

1

1

21212121414121218当BE=3a时，设DG＝x，则EG＝x+3a，

2122

在Rt△AEG中，则有（x+3a）＝（a﹣x）+（a）2，

3

1

解得x=2，

∴AG＝GD，故⑤正确， 故选：D．

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