由于{an}是正项数列，所以Sn＋1>0. 所以Sn＝n＋n(n∈N)．
2
*
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， n＝1时，a1＝S1＝2适合上式，
所以an＝2n(n∈N)． (2)证明：由an＝2n(n∈N)． 得bn＝
＝2
n＋22a24nn1n＋2
2
2
*
*
n＋1
n＋1n＋2
2
11＝[2－16n2
]，Tn＝
?1－1?＋?1－1?＋?1－1?＋…???????1??3??24??35?1611?＋?1－?＋?－????n－1n＋1???n2
2
2
2
2
2
1
n＋2
2
?? ?????
11?
＝?1＋2－16?2<
1n＋1
2
－
1n＋2
2
? ??
11?5*
1＋2?＝(n∈N)． ??2?6416?
5*
即对于任意的n∈N，都有Tn<.
64
1．(2016·浙江卷)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋
2
|，An≠An＋2，n∈N，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N(P≠Q表示点P与Q不重合)．若
**
dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A．{Sn}是等差数列 C．{dn}是等差数列
B．{Sn}是等差数列 D．{dn}是等差数列
2
2
解析：由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等1
差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列，故选A.
2
答案：A
2．已知Sn和Tn分别为数列{an}与数列{bn}的前n项和，且a1＝e，Sn＝eSn＋1－e，an＝ebn(n∈N)，则当Tn取得最大值时，n的值为( )
A．4 C．4或5
5
*
4
5
B．5 D．5或6
5
*
解析：由题意，得Sn＝eSn＋1－e，Sn－1＝eSn－e(n∈N且n≥2)．上述两式相减，得an＝ean＋1，即
an＋11a21*453
＝(n∈N且n≥2)，∵a1＝e，Sn＝eSn＋1－e，∴a2＝e，＝，∴数列{an}anea1e
145－n5－n是以e为首项，以为公比的等比数列，∴an＝e，∵an＝ebn，∴bn＝lne＝5－n，∴数
e列{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列，∴Tn＝
n9－n2
.对于函数y＝
x9－x2
＝
192819*－(x－)＋，其图象开口向下且对称轴方程为x＝.考虑到{bn}的前n项和Tn中n∈N，2282可知当n＝4或5时，Tn取得最大值．
答案：C
3．(2017·株洲一检)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn.若直122
线y＝a1x＋m与圆x＋(y－1)＝1的两个交点关于直线x＋2y－d＝0对称，则数列{}的前
Sn100项和为________．
解析：因为直线y＝a1x＋m与圆x＋(y－1)＝1的两个交点关于直线x＋2y－d＝0对称，1
所以两交点连线的斜率a1满足a1×(－)＝－1，所以a1＝2，并且圆心(0,1)在直线x＋2y21
－d＝0上，所以d＝2，所以等差数列的通项为an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝(2
21
＋2n)n＝n(n＋1)，＝
2
2
Snn111111
＝－，设{}的前100项和为T100，则T100＝1－＋n＋1nn＋1Sn22
111111100
－＋－＋…＋－＝1－＝. 334100101101101
100答案： 101
4．(2016·天津卷)已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N，bn是an和an＋1的等比中项．
(Ⅰ)设cn＝bn＋1－bn，n∈N求证：数列{cn}是等差数列； 11
(Ⅱ)设a1＝d，Tn＝? (－1)b，n∈N，求证：? <2.
Tk2dk＝1k＝1
k2
k*
2n2
2
*,
*
n解：证明：(Ⅰ)由题意得bn＝anan＋1，有cn＝bn＋1－bn＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1
222
－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d，所以{cn}是等差数列． (Ⅱ)Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b2n－1＋b2n) ＝2d(a2＋a4＋…＋a2n) ＝2d·
n2
2
2
2
2
2
2
na2＋a2n21
＝2dn(n＋1)． 1
k＋1
2
1n所以? ＝2?
Tk2dk＝1kk＝11n11
＝2? (－) 2dk＝1kk＋1＝
111·(1－)<. 22dn＋12d2
相关推荐：
loading