高等数学作业（第一章）- 参考答案 DOC

高等数学练习题（第一章）

姓名： 班级： 学号：

一、选择题(6小题,共24分) 1、 设f(x)?A、奇

cosx1?ex2,???x???，则f(x)是( C )函数

C、有界

D、周期

B、单调

x?x02、 在极限limf(x)的定义中，下述说法正确的是( B )

A、先给定?，后唯一确定? B、先给定?，后确定?，但?不唯一 C、先给定?，后确定? D、先给定?，后确定?，?与?无关 3、 对于数列{an}，下列命题正确的是( B )

A、有界时必收敛 B、无界时必发散 C、发散时必无界 D、收敛时不一定有界 4、 x?0时， ( C )与x是等价无穷小 A、sinx 3x

B、x(x?1) C、 1?x?1?x D、

1?cosx x5、 若函数f(x)在点x0连续的充要条件是：当x?x0时，( D ) A、f(x)有界 B、C、f(x)为无穷小 D、

??f(x0),f(x0)都存在且相等

f(x)?f(x0)??（其中x?x0时??0）

6、 设函数f(x),g(x)在R上有定义，f(x)为连续函数，而g(x)有间断点，则( D ) 必

有间断点

A、f(g(x)) B、f(x)g(x) C、g(f(x)) D、

g(x) f(x)二、填空(6小题,共24分) 1、 f(x)?1???的定义域为____?x2k??x?(2k?1)?,x?2k??,k?Z?___.

lnsinx2??2、 y?1?x1?x,x??1___. 的反函数为___y?1?x1?x2n?en?n2021?____-1_____. 3、 lim20172018nn??n?lnn?e4、 limx?03x?2?x?22?______.

tanx21?3x5、 lim?x?1??9x????x?2???____e____.

6、 f(x)?x?11有_____0______个第二类间断点.

ex?1?1三、计算(5小题,第1—4小题每题8分，第5小题10分，共42分) 1、 求lim??1n?n???n2?n?1?2n2?n?2??n2?n?n??. 解：令un?12n2?n?1?n2?n?1??nn(n2?n?1?n?1)2(n2?n?1)， v1?nn?n2?n?1?2n2?n?2?n2?n?n，

w1nn(n?1)n?1n?n2?n?n?2n2?n?n??n2?n?n?2(n2?n?n)?2(n?2)则： w1n?vn?un，且limn??un?limn??wn?2。 由夹逼准则可知原式?12。

、 求limln(1?x)2?ln(1?x)22x?0e?ecosx. ?lim2ln(1?x2解：原式)x?0?e(ecosx?1?1) ?lim2x2x?0e(cosx?1) ?limx2x?0 e???x2???2????4e

2分

2分

3分 1分 2分

2分2分

2分

?ln(1?x2),x?0?3、 若f(x)??sinxtan2x在x?0连续，求常数k.

?k,x?0?解：因为f(x)在x?0连续，所以f(0)?limf(x)，即： 2分

x?0ln(1?x2)k?lim 2分

x?0sinxtan2xx2?limx?02x2 ?12

?(1?cosx)24、 若f(x)???2017x3?2021x2,x?0在x?0连续，求常数a.

??ln(a?x),x?0解：因为f(x)在x?0连续，所以f(0?)?f(0)，即： lna?lim(1?cosx)2x?0?2017x3?2021x2 x4?lim4x?02017x3?2021x2 ?0 所以a?1

5、 求f(x)?(x?1)sinx(ex?1)(1?x2)的所有间断点，并指出间断点的类型.

解：易知f(x)的定义域为：(??,?1)?(?1,0)?(0,1)?(1,??) xlim1)sinx??1f(x)?lim(x?x??1(ex?1)(1?x2)?(?1?1)sin(?1)e?1?1lim1x??11?x2?? ?x??1是第二类（无穷型）间断点 limf((x?1)sinx(x?0x)?limx?0(ex?1)(1?x2)?limx?1)xx?0x(1?x2)??lim1x?0x?1??1 ?x?0是第一类（可去）间断点 3分 1分 2分

2分 2分 1分 1分

1分

2分

1分

2分

1分

limf(x)?limx?1(x?1)sinxsinxsin1 2分 ??lim?x?1(ex?1)(1?x2)x?1(ex?1)(1?x)2(1?e)?x?1是第一类（可去）间断点 1分

五、证明题 (1小题,共10分)

求证：存在??(0,1)，使得?e??1.

证明：令f(x)?xex?1, x?[0,1]， 4分 则：f(x)是[0,1]上的连续函数， 且f(0)f(1)??1?(e?1)?0 所以根据零点定理，存在??(0,1)，使得f(?)?0，即：?e??1。 1分 3分 2分