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平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为
像距v?与像长y?分别为
两像视角相同要求 即
R2u??u?h?u?，
8f(10)
v??-u?， v?y???y0?y0．
u?yy?， ?u?vu?-v?11?， 222u?uf2u?R4fR． 2(11) (12)
(13)
(14)
此处利用了(8)—(12)诸式．由(14)式可解得所求距离
评分标准：本题20分.
(1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分．
六、 参考解答：
1．先求两惯性系中光子速度方向的变换关系．根据光速不变原理，两系中光速的大小都是c．以?和??分别表示光子速度方向在S和S?系中与x和x?轴的夹角，则光速的x分量为
再利用相对论速度变换关系，得
u?(15)
ux?ccos?， ?u?x?ccos?．
(1) (2)
cos??cos???vc．
1?vcos??c(3)
S?系中光源各向同性辐射，表明有一半辐射分布于0????π2的方向角范围内，S系
中，此范围对应0????．由上式求得
v2c?arccosv． ??arccosv?c1?cosc2cos??(4)
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可以看出，光源的速度v越大，圆锥的顶角越小．
2．S?系中，质点静止，在?t?时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即
P?t???m0c2，
(5)
式中?m0为?t?时间内质点减少的质量．S系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少?m，故动量与能量亦减少．转化为光子的总动量为?p??mv，即
?p??m0v1-v2c2； 转化为光子的总能量为?E??mc2，即
?E??m0c21?v2c2． S?系中光源静止，测得的辐射时间?t?为本征时，在S系中膨胀为
?t??t?1?v2c2， 由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为 ?pvP?t?c2，
?E?t?P． 评分标准：本题20分.
第1小问7分.(3)式4分，(4)式3分.
第2小问13分.(5)、 (6) 、(7)式各2分，(8)式3分，(9) 、(10) 式各2分． 七、 参考解答：
1．光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为 Ec?MV??E?c?MV?，
E?MV22?E??MV?22．
其中V?为碰撞后反射镜的速度．从上两式消去V?，得
E?E??4E2E1?Vc??1?Vc?2??4EMc21?Vc．
E??E1?Vc
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(6)
(7)
(8)
(9) (10)
(1) (2)
(3)
(4)
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当
1V?1?Vc，可得 ??1时，
c1?Vc
E??E?1?2Vc?．
2.考察时刻t位于垂直于光传播方向的截面A左侧的长为光
A
S1 图1
A S1 S2 S2 S1 a (5)
在1s时间内所传播的距离c?1s、底面积为单位面积柱体内的光子，如图1所示．经过1s时间，它们全部通过所考察的截面．若单位体积中的光子数为n，根据光强的定义，入射光的强度
Φ?ncE （6） 若A处固定一反射镜，则柱体的底面S2处的光子在时刻t到达位于A处的反射镜便立即被反射，以光速c向左移动；当柱体的底面S1在t+1s到达A处被反射镜反射时，这柱体的底面S2已到达A左边距离A为c?1s处，所有反射光的光子仍分布在长为c?1s、截面积为单位面积的柱体内，所以反射光的强度与入射光的强度相等．
如果反射镜不固定，而是以恒定的速度V向右移动，则在时刻t+1s柱体的底面S1到达A处时，反射镜
S2 图2 c?t?S2
N V N’
S1
已移到A右边距离为V?1s的N处，这时底面S2移到A左侧离A的距离为c?1s处，如图2中a所示.设再经过时间?t，S1与镜面相遇，但这时镜面己来到N?处，因为在?t时间内，镜面又移过了一段距离V?t，即在时刻t?1s??t，底面S1才到达反射镜被反射．亦即原在S1处的光子须多行进cΔt的距离才能被反射．因此
c?t??1s??t?V 得
V (7) c?V而这时，底面S2又向左移了一段距离c?t．这样反射光的光子将分布在长为c?1s?2c?t的柱体内．因反射不改变光子总数，设n?为反射光单位体积中的光子数，有
?t?cV?c?V?nc?n??c?2??n?c c?V?c?V ?故有
n??n根据光强度的定义，反射光的强度
???n?cE?． (9) 由(4)、(8)、(9)各式得
2c?V． c?V (8)
?c?V? ??????． (10)
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注意到V??c有
?????1? 评分标准：本题20分.
第1小问9分. (1)、(2)式各2分，(4)或(5)式5分.
第2小问11分.(8)式5分，(9)式3分，(10) 或(11)式3分． 八、 参考解答：
两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量包括以下几部分：每个原子的负电中心振动的动能，每个原子的负电中心因受各自原子核“弹性力”作用的弹性势能，一个原子的正、负电荷与另一原子的正、负电荷的静电相互作用能.以v1和v2分别表示两个原子的负电中心振动速度，x1和x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，则体系的能量
E???4Vc??． (11) ?12121212 (1) mv1?mv2?kx1?kx2?U ，
2222??， ?式中U为静电相互作用能
?1111U?kCq2?????RR?x1?x2R?x1R?x2(2)
x?x?x???kC为静电力常量．因R?x1?x2?R?1?12?，R?x1?R?1?1?，
R?R????x?R?x2?R?1?2?，利用?1?x??1?1?x?x2，可将(2)式化为
R??
因此体系总能量可近似表为
2kCq2x1x2， U??R3(3)
11212122kCq2x1x22E?mv1?kx1?mv2?kx2?.
2222R322(4)
?a?b???a?b?22注意到a?b?2 式中，
和 2ab??a?b???a?b?222，可将(4)式改写为
11?2kCq2?211?2kCq2?222E?mu1??k??y1?mu2??k??y2. 3322?R?22?R?(5)
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u1??v1?v2?u2??v1?v2?y1??x1?x2?y2??x1?x2?2， 2， 2， 2．
(6) (7) (8) (9)
(5)式表明体系的能量相当于两个独立谐振子的能量和，而这两个振子的固有角频率分别为
?1?k?2kCq2R3，
mk?2kCq2R3.
m(10)
在绝对零度，零点能为
?2?(11)
E0?1???1??2?， 2(12)
两个孤立惰性气体原子在绝对零度的能量分别表示为E10和E20，有 式中
E10?E20?1??0， 2k m(13)
?0?(14)
为孤立振子的固有角频率．由此得绝对零度时，所考察的两个惰性气体原子组成的体系的能量与两个孤立惰性气体原子能量和的差为
利用?1?x?12?E?E0??E10?E20?．
?1?x2?x28，可得
24?kCq． ?E??321262kmR(15)
(16)
?E?0，表明范德瓦尔斯相互作用为相互吸引．
评分标准：本题20分.
(1)式1分，(2)式3分，(4)式3分，(10)、(11)式各4分， (12)式2分， (16)式2分，末句说明占1分．
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