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高中新课程数学（新课标人教A版）必修四《第三章三角恒等变换》
模块检测
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )． A．第一象限 C．第三象限
解析 sin2θ＝2sinθcosθ<0，又cosθ>0， ∴sinθ<0，∴θ是第四象限角． 答案 D
2π??π
2．函数y＝sinx?≤x≤?的值域是( )．
3??6A．[－1,1] 3??1
C.?，? ?22?答案 B
2π
3．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影为( )．
311
A.B．－C．4D．－4 22
B．第二象限 D．第四象限
?1?B.?，1?
?2?
D.?
?3?
，1? ?2?
信达
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2π?1?解析 a在e的方向上的投影为|a|cos＝8×?－?＝－4. 3?2?答案 D
4．下列关系式中，不正确的是( )． A．sin585°<0 C．cos(－690°)<0
B．tan(－675°)>0 D．sin1010°<0
解析 585°＝360°＋225°是第三象限角，则sin585°<0；－675°＝－720°＋45°，是第一象限角，
∴tan(－675°)>0；1010°＝1080°－70°，是第四象限角， ∴sin1010°<0；而－690°＝－720°＋30°是第一象限角， ∴cos(－690°)>0. 答案 C
π?π?5．函数y＝2sin(3x＋φ)?|φ|
A.B.C.D．－ 6344
π
解析 由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，
2ππ
所以3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
122π
得φ＝kπ＋(k∈Z)．
4
ππ
又|φ|<，所以k＝0，φ＝，故应选C.
24答案 C
→→→1
6．已知D是△ABC的边BC上的一点，且BD＝BC，设AB＝a，AC＝b，则AD等于( )．
31
A.(a－b) 31
C.(2a＋b) 3
1
B.(b－a) 31
D.(2b－a) 3
→→→→1→→1→→2→1→21
解析 AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，故选C.
333333答案 C
7．已知a，b均为单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )． A.7B.10C.13D.4
信达
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解析 本题若直接求|a＋3b|则较为困难，因此解答时可依据公式|a|＝a先求(a＋3b). 因为|a|＝1，|b|＝1，且它们的夹角为60°， 1
故a·b＝cos60°＝，
2
所以(a＋3b)＝a＋6a·b＋9b＝1＋3＋9＝13， 即|a＋3b|＝13，故应选C. 答案 C
8．计算2sin14°·cos31°＋sin17°等于( )． A.
2233B．－C.D．－ 2222
2
2
2
22
解析 原式＝2sin14°cos31°＋sin(31°－14°) ＝sin31°cos14°＋cos31°sin14°＝sin45°＝答案 A
9．设向量a＝(cos25°，sin25°)，b＝(sin20°，cos20°)，若t是实数，且c＝a＋tb，则|c|的最小值为( )． A.2B．1C.
21
D. 22
2. 2
解析 c＝a＋tb＝(cos25°，sin25°)＋(tsin20°，tcos20°) ＝(cos25°＋tsin20°，sin25°＋tcos20°)， ∴|c|＝
2
cos 25°＋tsin 20°
2
2
＋sin 25°＋tcos 20°
2
＝1＋t＋2tsin 45°＝t＋2t＋1 ＝
2?21?
?t＋?＋2，
2??
22时，|c|最小，最小值为. 22
∴当t＝－答案 C
10．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )． π
A. 6C.
2π
3
B.D.π 35π 6
解析 ∵m·n＝3sinAcosB＋3cosAsinB
信达
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＝3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴3sin(A＋B)－cos(A＋B)＝3sinC＋cosC ＝2sin?
?π＋C?＝1.
??6?
?π?1∴sin?＋C?＝，
?6?2
π5ππ2
∴＋C＝π或＋C＝(舍去)，∴C＝π. 66663答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)． cos 2α211．若＝－，则sinα＋cosα＝________.
π?2?sin?α－?4??解析 原式可化为
cosα－sinα22
sin α－cos αcos α－sin α 2
2
＝
cos α＋sin α22
sin α－cos α＝－21，∴sinα＋cosα＝. 22
1答案 2
12．已知向量m＝(3sinx，cosx)，p＝(23，1)．若m∥p，则sinx·cosx＝________. 解析 ∵m∥p，∴3sinx＝23cosx，tanx＝2， sin x·cos xtan x2
∴sinx·cosx＝22＝2＝. sinx＋cosx1＋tanx52答案 5
13．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－则向量a与c的夹角为________． 解析 ∵a·c＝a·a－a·a·b. a·ba·a·b·a＝a·a－a·a＝0， a·b∴a⊥c，即a与c的夹角为90°. 答案 90°
信达
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