三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21.设矩阵A?(?,2?2,3?3),B?(?,?2,?3),其中?,?,?2,?3均为3维列向量，且A?18,B?2.求
A?B.
?11?1??01??1?1???????22X?10?1122.解矩阵方程0??????. ?1?10??43??21???????23.设向量组α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=（3，2，-1，p+2）问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.
T
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?2x1??x2?x3?1?24.设3元线性方程组??x1?x2?x3?2,
?4x?5x?5x??123?1（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）. 25.已知2阶方阵A的特征值为?1（1）求B的特征值； （2）求B的行列式. 26.用配方法化二次型换.
四、证明题(本题6分) 27.设A是3阶反对称矩阵，证明
22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?2x3?4x1x2?12x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性变
1?1及?2??,方阵B?A2.
3A?0.
习题一答案
习题二答案
线性代数习题三
说明:在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A|=( ) A.-8 B.-2 C.2 D.8
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*
?1?2.设矩阵A=???1??,B=(1,1),则AB=( )
??1??1??1??A.0 B.(1,-1) C. ? D. ??1???1?1?? ????3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA
12?*?-1
4.设矩阵A的伴随矩阵A=??34??,则A= ( )
??
A.?1?4?3?1?1?2?1?12?1?42??????? ? B. C. D. ? ???????????3431?21?342?2?2?2?????5.下列矩阵中不是初等矩阵的是( ) ．．
?101??001??100?
??????A.?010? B. ?010? C. ?030? ?000??100??001???????
6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有( )
?100?
??
D. ?010?
?201???
A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )
A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示
C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一 8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )
A.0 B.1 C.2
D.3
?2x1?x2?x3?0?9.设齐次线性方程组?x1?x2?x3?0有非零解,则?为( )
??x?x?x?023?1A.-1 B.0 C.1 D.2
10.设二次型f(x)=xAx正定,则下列结论中正确的是( )
A.对任意n维列向量x,xAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式
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0112的值为_________.
?12?12.已知A=??23??,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.
???113.设矩阵A=???2??3??11?3
???,P=,则AP=_________. ?01?4????-1
14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|AB|=_________.
15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.
?1??3??????2??5?16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且?1???,?1??3???,37?????4??9?????则该线性方程组的通解是_________.
?1??1?????17.已知P是3阶正交矩,向量???3?,???0?,则内积(P?,P?)?_________.
?2??2?????18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.
?12?19.与矩阵A=??03??相似的对角矩阵为_________.
???120.设矩阵A=???2??2?T
?,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________. ?k?三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
21.求行列式D=
0120101221010210的值.
?0?10???1?20?????22.设矩阵A=?100?,B??2?10?,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.
?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量组?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩为2,求k的值.
?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.设矩阵A??1?10?,b??1?.
??121??0?????
(1)求A;
(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出. 25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A+2A-E,求 (1)矩阵A的行列式及A的秩.
(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.
2
-1
?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换?x2?2y1?2y2?y3所得的标准形.
四、证明题(本题6分)
27.设n阶矩阵A满足A2
=E,证明A的特征值只能是?1.
线性代数习题三答案
??x3?2y3
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