7
一元一次方程的解法
及应用
模块一
等式的概念及性质
定 义 示例剖析
1 ? 2 ? 3 ， x ? 1 ? 5 ，
s ? ab ， a ? b ? c ? mxy ? n
等式的概念：用等号来表示相等关系的式 子，叫做等式．
等式的类型
x ? x ，3 ? 3 恒等式：无论用什么数值代替等式中的字
母，等式总能成立．
条件等式：只能用某些数值代替等式中的字 方程 x ? 5 ? 6 需要 x ? 1 才成立． 母，等式才能成立．
矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字 如 3 ? 2 ，1 ? 2 ? 5 ， x ? 1 ? x ? 1 ． 母，等式都不能成立．
等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同 若 a ? b ，则 a ? c ? b ? c ． 一个数（或式子）．． ，所得结果仍是等式．
若a?b，则ac?bc，
等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同
一个数（除数不能是 0．），结果仍是等式．．．．． ． 若 a ? b 且 c ? 0 ，则 a ? b ．
c c
在等式变形中，以下两个性质也经常用到：
①等式具有对称性，即：如果 a ? b ，那么 b ? a ；
②等式具有传递性，即：如果 a ? b ， b ? c ，那么 a ? c .
夯实基础
【例1】 下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型．
1
4x ? 3 、1 ? 5 ? 7 ? 13 、 y ? 7 ? 2 、2x ? 3x ? 1 、6 y ? 4 、x ? y ? 5 、π? 3.14 ，2a ? b ? 0 ，
2
x2 ? x2 ， 7 x ? 1 ? 7 x ? 1.
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第7讲·尖端预备班·学生版
能力提升
【例2】 ⑴ 根据等式的性质填空：
① a ? 4 ? b ，则 a ? b ? ______；
② 3x ? 5 ? 9 ，则 3x ? 9 ? ；
③ 6x ? 8 y ? 3 ，则 x ? ________； ④ 1 x ? y ? 2 ，则． x ?
2
⑵ 已知等式 3a ? 2b ? 5 ，则下列等式中不一定成立的是（ ）
2 5
A． 3a ? 5 ? 2b B． 3a ? 1 ? 2b ? 6 C． 3ac ? 2bc ? 5 D． a ? b ?
3 3
（北京二中期中） ⑶ 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（ ）
1 2
．由A ? x ? ，得 x ? 2 B．由 3x ? 2 ? 2x ? 2 ，得 x ? 4
3 3
C．由 2x ? 3 ? 3x ，得 x ? 3 D．由 3x ? 5 ? 7 ，得 3x ? 7 ? 5
（海淀区期末）
模块二
方程的相关概念
示例剖析
定 义
方程：含有未知数的等式．即：
．．
①方程中必须含有未知数；
②方程是等式，但等式不一定是方程．
方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的 值，叫做方程的解．
解方程：求方程的解的过程．．． 方程中的已知数：一般是具体的数值．
方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常 用 x 、 y 、 z 等字母表示．
例如1 ? 2 ? 3 是等式不是方程．
例如 x ? 3 是方程 x ? 3 ? 6 的解
例如 x ? 5 ? 0 中, 5 和 0 是已知数，
例如关于 x 、 y 的方程 ax ? 2by ? c 中， a 、 ?2b 、 c 是已知数， x 、 y 是未知数．
一元一次方程： 只含有一个未知数，并且未知
．．
数的最高次数是等于0 的整式方程叫做一 1，系数不 ． ．．．． ．． ．．．
元一次方程，这里的“元”是指未知数， 次“ ”是指含未 知数的项的最高次数．
最简形式：方程 ax ? b （ a ? 0 ， a ， b 为已知 数）的形式叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程 ax ? b ? 0 （ a ? 0 ， a ， b 是已
2x ? 3 ? 5 ， y ? 1 ? 0 ， x ? 3
例如 3x ? 5 ， 2x ? 7 等． 例如 2x ? 1 ? 0 ，x ? 4 ? 0
知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．
易错点 1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 易错点 2：任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一
第 7 讲·尖端预备班·学生版
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次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程 x2 ? 2x ? 1 ? x2 ? 6 是一元一次方程．
夯实基础
1 ?2 3 ?1；③2x?3≤5；④y2?1?2y，【例3】 ⑴ 下列式子：① 3x ? 2 ? 5x ? 1 ；② ???? ? ? 2 ? 4
其中方程的个数为（ ）个．
B．2 C．3 D．4
1
⑵ ① x ? 4 ? 4 ? x ；② ? 2 ；③ x ? 4 ? 4 ? x ；④ 2 x ? 3 ；⑤ x2 ? x ? x( x ? 2) ? 3 ．
x
其中是一元一次方程的有 . ⑶ 下列方程中解是 x ? 2 的一共有（ ）个．
①4x ? 8 ? 0 ②4x ? 8 ? 0 ③ 8x ? 4 ? 0 ④2x ? 4 ? 0
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（北大附中期中）
A．1
能力提升
【例4】 ⑴ 若 kx3?2k ? 2k ? 3 是关于 x 的一元一次方程，则 k ?
⑵ 若 (m ? 2) xm2?3 ? 5 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是
. . . .
⑶ 若 (a ? 1)x a ? a ? 5 是关于 x 的一元一次方程，则 a 的值是
⑷ 已知 (2m ? 3)x2 ? (2 ? 3m) x ? 1 是关于 x 的一元一次方程，则 m ?
（北京师范大学附属实验中学期中）
⑸ 方程 (m ? 1)x|m| ? m ? 2n 是关于 x 的一元一次方程，若 n 是它的解，则 n ? m ?（ ）．
1 5 3 5 ．．．．A B C D ?
4 4 4 4
（人大附中期中）
模块三
一元一次方程的解法及应用
解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的
系数化为1 ．
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