第6讲 对数与对数函数
基础知识整合
1．对数的定义
01x＝logaN，其中a如果a＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作□叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的运算法则
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 02logaM＋logaN， (1)loga(M·N)＝□
03logaM－logaN， (2)loga＝□
(3)logaM＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的图象与性质
nxMN a>1 0 4．反函数 (0，＋∞) R 04(1,0) 过点□05单调递增的 在(0，＋∞)上是□当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 06单调递减的 在(0，＋∞)上是□当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 07logax(a＞0且a≠1)互为反函数，指数函数y＝a(a＞0且a≠1)与对数函数y＝□它们的08y＝x对称． 图象关于直线□ 1．对数的性质(a＞0且a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaNx＝N. 2．换底公式及其推论 logcb(1)logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)； logca1 (2)logab·logba＝1，即logab＝； logba(3)logamb＝logab； (4)logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． nnm 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1．(2019·广东湛江模拟)函数f(x)＝1－ln x的定义域是( ) A．(0，e) C．[e，＋∞) 答案 B 解析 要使函数f(x)＝1－ln x有意义，则? ?1－ln x≥0，???x>0， B．(0，e] D．(e，＋∞) 解得0 2．(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5，则a，b，c的大小关系为( ) A．a 解析 因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52 3．已知a>0，a≠1，函数y＝a与y＝loga(－x)的图象可能是( ) xx1 0.2 0 0.2 B．a 答案 B 解析 若a>1，则y＝a是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若0 xxy＝loga(－x)是增函数，故选B． 4．函数y＝lg |x|( ) A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 答案 B 解析 显然y＝lg |x|是偶函数，又x>0时，y＝lg x是单调递增函数，所以y＝lg |x|在(－∞，0)上单调递减，故选B． 5．函数f(x)＝ln (x－2x－8) 的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) C．(1，＋∞) 答案 D 解析 由x－2x－8>0，得x>4或x<－2. 设t＝x－2x－8，∵y＝ln t为增函数，∴要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x－2x－8的单调递增区间． ∵函数t＝x－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D． 6．若a＝log43，则2＋2＝________. 答案 43 3 1 43＝. 33 a－a2 2 2 2 2 B．(－∞，1) D．(4，＋∞) 解析 原式＝2log43＋2－log43＝3＋ 核心考向突破 考向一 对数的化简与求值 1324 例1 (1)化简lg －lg 8＋lg 245＝________. 2493 1答案 2 1324 解析 lg －lg 8＋lg 245 2493 143151 ＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(lg 5＋2lg 7)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7 2322221111＝lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝. 2222 11ab(2)设2＝5＝m，且＋＝2，则m＝________. ab答案 10 1111ab解析 因为2＝5＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋ ablog2mlog5mlogm5＝logm10＝2.所以m＝10，所以m＝10. (3)若log147＝a,14＝5，则用a，b表示log3528＝________. 答案 2－a a＋bb2 142 解析 ∵a＝log147，b＝log145，∴a＋b＝log1435.又log1428＝log14＝2－log147＝2－a， 7log14282－a∴log3528＝＝. log1435a＋b 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误． 222 [即时训练] 1.lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)的值为________. 3答案 3 解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3. 2 1x2．已知2＝12，log2＝y，则x＋y的值为________. 3答案 2 1x解析 ∵2＝12，∴x＝log212，∴x＋y＝log212＋log2＝log24＝2. 33．计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________. 5答案 4 1155???1?3 解析 原式＝?log32＋log32?·?log23＋log23?＝log32·log23＝. 2364???2?2考向二 对数函数的图象及其应用 例2 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( ) 答案 C 解析 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D．故选C． ?1?x(2)若方程4＝logax在?0，?内有解，则实数a的取值范围为________. ?2? 答案 ?0， ??2?? 2? 解析 构造函数f(x)＝4和g(x)＝logax.当a>1时不满足条件，当0 x
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