最新江苏省常州市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1．A．
的相反数是（ ） B．
C．
D．
2．将161000用科学记数法表示为（ ） A．0.161×106
B．1.61×105 C．16.1×104
D．161×103
3．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
4．为参加2016年“常州市初中毕业生升学体育考试”，小芳同学刻苦训练，在跳绳练习中，
测得5次跳绳的成绩（单位：个/分钟）为150，158，162，158，166，这组数据的众数，中位数依次是（ ） A．158，158 B．158，162 C．162，160 D．160，160
5．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
6．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ） A．500?sinα米 B．
米 C．500?cosα米 D．
米
7．已知点A（﹣3，m）与点B（2，n）是直线y=﹣x+b上的两点，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m=n C．m＜n D．无法确定
8．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC=1，GH=2，则CG的长为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（每小题2分，共20分） 9．|﹣2|﹣（）﹣1= ． 10．若式子
有意义，则x的取值范围是 ．
11．分解因式：3x2﹣6xy+3y2= ．
12．如图，线段AD与BC相交于点O，AB∥CD，若AB：CD=2：3，△ABO的面积是2，则△CDO的面积等于 ．
13．方程=0的解是 ．
14．已知圆锥的高是4cm，圆锥的底面半径是3cm，则该圆锥的侧面积是 cm2．
15．若二次函数y=2x2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个公共点，则m= ． 16．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=36°，则∠C= ．
17．已知点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点A′是点A关于y轴的对称点，当△AOA′为直角三角形时，点A的坐标是 ．
18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为 ．
三、解答题（共10小题，共84分） 19．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2），其中a=2，b=1.5． 20．解方程和不等式组 （1）x2﹣3x=x﹣3 （2）
．
21．为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀：B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生是 ；
（2）求图1中∠α的度数是 °，把图2条形统计图补充完整；
（3）该区九年级有学生3500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数为 ．
22．甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡片a、b、c，收集后放在一个不透明的箱子中，然后每人从箱子中随机抽取一张．
（1）用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果； （2）求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率．
23．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点E是AB的中点．以△ABC的边AB向外作等边△ABD，连接DE．求证：AC=DE．
24．图l、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．请在网格中按照下列要求画出图形：
（1）在图1中以AB为边作四边形ABCD（点C、D在小正方形的顶点上），使得四边形ABCD为中心对称图形，且△ABD为轴对称图形（画出一个即可）； （2）在图2中以AB为边作四边形ABEF（点E、F在小正方形的顶点上），使得四边形ABEF中心对称图形但不是轴对称图形，且tan∠FAB=3．
25．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离开景点A后的路程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示． 根据以上信息回答下列问题：
（1）乙出发后多长时间与甲相遇？
（2）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？
26．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ （2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．（结果保留根号）
27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．
（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx﹣7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC=2：7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段CB上一点，点P在对称轴的右侧抛物线上，PD=PB，当tan∠PDB=2，求P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1．A．
的相反数是（ ） B．
C．
D．
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：
的相反数是，
故选：D．
2．将161000用科学记数法表示为（ ） A．0.161×106
B．1.61×105 C．16.1×104
D．161×103
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：161000=.612×105．
故选B．
3．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D、圆是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误． 故选C．
4．为参加2016年“常州市初中毕业生升学体育考试”，小芳同学刻苦训练，在跳绳练习中，测得5次跳绳的成绩（单位：个/分钟）为150，158，162，158，166，这组数据的众数，中位数依次是（ ） A．158，158 B．158，162 C．162，160 D．160，160
【考点】众数；中位数．
【分析】将这5个数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，数据个数是5为奇数个，则中间那个数据就是这组数据的中位数； 这5个数据中出现次数最多的数是37，则37就是这组数据的众数．据此进行解答．
【解答】解：将数据按照从小到大的顺序排列为： 150，158，158，160，162，
这5个数据中位于中间的数据是158， 所以中位数为：158；
数据中出现次数最多的数是158， 158就是这组数据的众数； 故选A．
5．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于（
A．20° B．40° C．60° D．80° 【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠2+∠3的度数，再由∠2=∠3即可得出结论． 【解答】解：∵a∥b，∠1=80°， ∴∠2+∠3=80°，∠3=∠4． ∵∠2=∠3， ∴∠3=40°， ∴∠4=40°． 故选B．
6．斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ）A．500?sinα米 B．
米 C．500?cosα米 D．
米
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】根据题意画出图形，再利用坡角的正弦值即可求解． 【解答】解：如图，∠A=α，AE=500． 则EF=500sinα． 故选A．
）
7．已知点A（﹣3，m）与点B（2，n）是直线y=﹣x+b上的两点，则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m=n C．m＜n D．无法确定 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：∵直线y=﹣x+b中，k=﹣＜0，
∴此函数是减函数． ∵﹣3＜2， ∴m＞n． 故选A．
8．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC=1，GH=2，则CG的长为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】正方形的性质；勾股定理；圆的认识．
【分析】连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC=x，OG=y，列出方程组即可解决问题．
【解答】解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC=x，OG=y，
由勾股定理可知：
②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣22=0， ∴（x+y）2﹣22=（y+2）2﹣x2，
∴（x+y+2）（x+y﹣2）=（y+2+x）（y+2﹣x），
∵x+y+2≠0，
∴x+y﹣2=y+2﹣x，
∴x=2，代入①得到r2=10，代入②得到：10=4+（x+y）2， ∴（x+y）2=6，
∵x+y＞0， ∴x+y=， ∴y=﹣2． ∴CG=x+y=． 故选B．
二、填空题（每小题2分，共20分） 9．|﹣2|﹣（
）﹣1=
．
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，负数的绝对值是正数，可化简各数，根据有理数的减法，可得答案． 【解答】解：原式=2﹣故答案为：． 10．若式子
有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
=
，
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解． 【解答】解：式子x﹣3≥0， 解得x≥3，
故答案为：x≥3．
11．分解因式：3x2﹣6xy+3y2= 3（x﹣y）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：3x2﹣6xy+3y2， =3（x2﹣2xy+y2）， =3（x﹣y）2．
故答案为：3（x﹣y）2．
有意义，得
12．如图，线段AD与BC相交于点O，AB∥CD，若AB：CD=2：3，△ABO的面积是2，则△CDO的面积等于 4.5 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据AB∥CD，于是得到△ABO∽△CDO，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△ABO∽△CDO， ∴
=（
）2=（）2=，
∵△ABO的面积是2，
∴△CDO的面积等于4.5． 故答案为：4.5． 13．方程
=0的解是 x=3 ．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣10+x+1=0， 解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解． 故答案为：x=3
14．已知圆锥的高是4cm，圆锥的底面半径是3cm，则该圆锥的侧面积是 15π cm2． 【考点】圆锥的计算． 【分析】根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积． 【解答】解：由勾股定理得：圆锥的母线长=∵圆锥的底面周长为2πr=2π×3=6πcm， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为6πcm， ∴圆锥的侧面积为：×6π×5=15πcm2． 故答案为：15π．
15．若二次函数y=2x2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个公共点，则m=
．
=5cm，
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则对应的△=0，据此即可求解． 【解答】解：依题意有△=m2﹣8=0，
解得：m=±2． 故答案是：±2．
16．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=36°，则∠C= 27° ．
【考点】切线的性质．
【分析】连接OB，求出∠OBA，求出∠BOA，根据圆周角定理求出∠C=可求出答案．
∠BOA，即
【解答】解：
连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=36°， ∴∠BOA=54°， ∴由圆周角定理得：∠C=故答案为：27°．
17．已知点A是反比例函数y=
（x＞0）图象上的一点，点A′是点A关于y轴的对称∠BOA=27°，
点，当△AOA′为直角三角形时，点A的坐标是 （，） ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据反比例函数的解析式和点A在函数的图象上可求出点A与点A'，由于△AOA′为直角三角形解答即可．
【解答】解：因为点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，点A′是点A关于y轴的对称点，
设点A坐标为（x，），点A'的坐标为（﹣x，）， 因为△AOA′为直角三角形，
可得：x2=2，
解得x=，
所以点A的坐标为（，）， 故答案为：（，）．
18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为 4+3 ．
【考点】旋转的性质． 【分析】连结CC′，A′C交BC于O点，如图，利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，则可判断△BCC′为等边三角形，接着利用线段垂直平分线定理的逆定理说明A′C垂直平分B′C，则BO=BC′=3，然后利用勾股定理计算出A′O，利用三角函数计算出OC，最后计算A′O+OC即可． 【解答】解：连结CC′，A′C交BC于O点，如图， ∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5， ∴△BCC′为等边三角形， ∴CB=CB′，
而A′B=A′C′，
∴A′C垂直平分B′C， ∴BO=BC′=3， 在Rt△A′OB中，A′O=
在Rt△OBC中，∵tsin∠CBO=sin60°=∴OC=6×
=3
，
．
=，
=4，
∴A′C=A′O+OC=4+3故答案为4+3．
三、解答题（共10小题，共84分） 19．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2），其中a=2，b=1.5． 【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先算乘法，再算加减，把a=2，b=1.5代入进行计算即可． 【解答】解：原式=a2﹣b2+b2﹣2b =a2﹣2b．
当a=2，b=1.5时，原式=4﹣2×1.5=4﹣3=1．
20．解方程和不等式组 （1）x2﹣3x=x﹣3 （2）
．
【考点】解一元一次不等式组；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个方程，求出方程的解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x=x﹣3， x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0， （x﹣3）（x﹣1）=0， x﹣3=0，x﹣1=0， x1=3，x2=1； （2）
∵解不等式①得：x≥﹣2， 解不等式②得：x＜1，
∴原不等式组的解集是﹣2≤x＜1．
21．为了解某区九年级学生身体素质情况，该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀：B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生是 40 ；
（2）求图1中∠α的度数是 144 °，把图2条形统计图补充完整；
（3）该区九年级有学生3500名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数为 175 ．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数；
（2）根据A级的人数除以抽测的人数，可得A级人数所占抽测人数的百分比，根据圆周角乘以A级人数所占抽测人数的百分比，可得A级的扇形的圆心角，根据有理数的减法，可得C级抽测的人数，然后补出条形统计图；
（3）根据D级抽测的人数除以抽测的总人数，可得D级所占抽测人数的百分比，根据八年级的人数乘以D级所占抽测人数的百分比，可得答案． 【解答】解：（1）本次抽样的人数是14÷35%=40（人）， 故答案是：40； （2）∠α=
×360=144°，
C级的人数是40﹣16﹣14﹣2=8（人）， 故答案是：144．
；
（3）估计不及格的人数是3500×=175（人），
故答案是：175．
22．甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡片a、b、c，收集后放在一个不透明的箱子中，然后每人从箱子中随机抽取一张．
（1）用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果； （2）求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率． 【考点】列表法与树状图法．
【分析】此题可以采用列举法求概率，要注意不重不漏；此题需要三步完成，可以采用树状图法，注意此题为不放回实验；此题也可认为两步完成，因为确定了甲乙，也就确定了丙，所以也可采用列表法求概率． 【解答】解：（1）列表或画树状图表示三位同学抽到卡片的所有可能结果如下： 甲 a a b b c c 乙 b c a c a b 丙 c b c a b a
（2）如图可知，三位同学抽到卡片的所有可能的结果共有6种，所以三位同学中有一人抽到自己制作的卡片有3种，有三人抽到自己制作的卡片有1种．所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片有4种，8分
所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作的卡片的概率为：．10分
23．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点E是AB的中点．以△ABC的边AB向外作等边△ABD，连接DE．求证：AC=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】根据等边三角形的性质就可以得出∠DAB=60°，∠DAC=90°．就可以得出△ACB≌△DEB，进而可以得出结论．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵AB=BD，点E是AB的中点， ∴DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠DEB=∠C， ∵∠BAC=30°， ∴∠ABC=60°， ∴∠ABD=∠ABC， 在△ACB与△DEB中，
，
∴△ACB≌△DEB（AAS）， ∴AC=DE．
24．图l、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．请在网格中按照下列要求画出图形：
（1）在图1中以AB为边作四边形ABCD（点C、D在小正方形的顶点上），使得四边形ABCD为中心对称图形，且△ABD为轴对称图形（画出一个即可）； （2）在图2中以AB为边作四边形ABEF（点E、F在小正方形的顶点上），使得四边形ABEF中心对称图形但不是轴对称图形，且tan∠FAB=3．
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案． 【分析】（1）根据轴对称图形以及中心对称图形的性质得出符合题意的图形即可； （2）利用轴对称图形以及中心对称图形的性质，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【解答】解：（1）如图1所示： （2）如图2所示．
25．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离开景点A后的路程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示． 根据以上信息回答下列问题：
（1）乙出发后多长时间与甲相遇？
（2）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？
【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据图象确定出甲步行路程与时间的解析式；确定出20≤t≤30时，乙乘观光车由景点A到B时的路程与时间的函数解析式，联立即可确定出相遇的时间；
（2）设当60≤t≤90时，乙步行由景点B到C的速度为x米/分钟，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出乙步行由B到C的速度． 【解答】解：（1）当0≤t≤90时，甲步行路程与时间的函数解析式为S=60t；
当20≤t≤30时，设乙乘观光车由景点A到B时的路程与时间的函数解析式为S=mt+n， 把（20，0）与（20，3000）代入得：解得：
，
，
∴函数解析式为S=300t﹣6000（20≤t≤30）； 联立得：解得：
，
，
∵25﹣20=5，
∴乙出发5分钟后与甲相遇；
（2）设当60≤t≤90时，乙步行由景点B到C的速度为x米/分钟， 根据题意，得5400﹣3000﹣（90﹣60）x=360， 解得：x=68，
∴乙步行由B到C的速度为68米/分钟．
26．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ （2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，利用锐角三角函数关系得出AC的长，进而得出AB的长即可得出答案；
（2）利用（1）求出BD的长，再利用速度=
，求出答案即可．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于D， 由题意得：
∠B=30°，∠BAC=105°，
则∠BCA=45°，AC=30千米，
在Rt△ADC中，CD=AD=AC．cos45°=30（千米）， 在Rt△ABD中，AB=2AD=60千米，t=
=4（时）．
4﹣2=2（时），
答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时；
（2）由（1）知：BD=AB?cos30°=30千米， ∴BC=30+30（千米），
v=（30+30）=（15+15）千米/时． 答：甲船加快速度后，追赶乙船时的速度为：（15+15）千米/时．
27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．
（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．
【考点】圆的综合题． 【分析】（1）由AE⊥AC，∠ACB=90°，可得AE∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，求得y关于x的函数解析式； （2）由题意易得要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，然后由△ABC∽△EAC，求得答案；
（3）易得点C必在⊙E外部，此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE﹣DE．然后分别从当点E在线段AD上时与当点E在线段AD延长线上时，去分析求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵AE⊥AC，∠ACB=90°， ∴AE∥BC， ∴
=
，
∵BC=6，AC=8， ∴AB=
∵AE=x，AP=y， ∴∴y=
=
，
（x＞0）；
=10，
（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE与∠PEA都是锐角，
∴要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB， 此时△ABC∽△EAC，则∴AE=
．
；
=
，
故存在点E，使△ABC∽△EAP，此时AE=
（3）∵点C必在⊙E外部，
∴此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE﹣DE． 设AE=x．
①当点E在线段AD上时，ED=6﹣x，EC=6﹣x+8=14﹣x， ∴x2+82=（14﹣x）2，
解得：x=，
即⊙E的半径为．
②当点E在线段AD延长线上时，ED=x﹣6，EC=x﹣6+8=x+2， ∴x2+82=（x+2）2， 解得：x=15，
即⊙E的半径为9． ∴⊙E的半径为9或．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx﹣7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC=2：7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段CB上一点，点P在对称轴的右侧抛物线上，PD=PB，当tan∠PDB=2，求P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由直线可求得C点坐标，代入抛物线可求得a的值，结合条件可求得A点坐标，代入可求得b的值，可求得抛物线解析式；
（2）可先求得B点坐标，过P作PF⊥x轴于点G，交BC于点F，作PE⊥BC，结合条件可找到PG与GF关系，再求得直线BC的解析式，设出F点的坐标，可表示出P点坐标，代入抛物线可求得P点的坐标；
（3）分DP∥QR和DR∥QP，当DP∥QR时，过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，过R作RM⊥BQ于点M．设PD交BQ于点T，DN交BM于点I，可求得RM=DN，MQ=PN，结合条件可求得D点坐标，设出R的坐标，可求得横坐标，代入抛物线可求得R的坐标，再根据平行四边形的性质可求得Q的坐标；同理可求得当DR∥QP时的R、Q的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣7与y轴的负半轴交于点C ∴C（0，﹣7）， ∴OC=7，
∵抛物线y=ax2+bx+14a经过点C， ∴14a=﹣7， ∴a=﹣， ∴y=﹣x2+bx﹣7， ∵OA：OC=2：7． ∴OA=2， ∴A（2，0）
∵抛物线y=﹣x2+bx﹣7经过点A， ∴b=
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣7， （2）如图1，
∵抛物线y=﹣x2+x﹣7经过B点，
令y=0解得x=7或x=2（舍去）， ∴B（7，0）， ∴OB=7， ∴OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°
过点P作PF⊥x轴于点G，交CB延长线于点F，则PF∥y轴， ∴∠CFG=∠OCB=45°， ∴BF=GF，
过P作PE⊥BC于点E， ∵PD=PB，
∴∠PBD=∠PDB，
∴tan∠PBD=tan∠PDB=2， ∴PE=2BE， ∵EF=PE， ∴BF=BE， ∴PF=PE=2BE=2BF=4GF，
∴PG=3GF，
∵直线y=kx﹣7过B点， ∴k=1， ∴y=x﹣7，
设F（m，m﹣7），则P（m，﹣3（m﹣7））， ∵点P在抛物线y=﹣∴
x2+
x﹣7上， ，
解得m=7（舍去）或m=8， ∴P（8，﹣3）；
（3）如图2，当DP∥QR时，即四边形DQRP是平行四边形，
∵B（7，0），Q（7，m） ∴BQ∥y轴
过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N， 过R作RM⊥BQ于点M．
设PD交BQ于点T，DN交BM于点I， ∴∠DTB=∠DPN，∠PTQ=∠RQM， ∵∠DTB=∠PTQ， ∴∠DPN=∠RQM，
∵四边形DPRQ是平行四边形， ∴DP=RQ，
在△RMQ和△DNP中，
，
∴△RMQ≌△DNP（AAS）， ∴RM=DN，MQ=PN， 由（2）可求F（8，1），GF=1，BD=2BE=2BF=2∵∠QBC=45°，∴BI=DI=2， ∴D（5，﹣2），
设R点的横坐标为t， ∵RM=DN， ∴t﹣7=8﹣5，
GF=
解得t=10，
∵点R在抛物线y=﹣x2+x﹣7 上， ∴当t=10时，
，
∴R（10，﹣12）， ∵MQ=PN，
∴3﹣2=﹣12﹣n， ∴n=﹣11，
∴R（10，﹣12），Q（7，﹣11），
如图3，当DR∥QP时，即四边形DQPR是平行四边形
同理可求得R（6，2），Q（7，﹣7）．
2016年6月3日
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