[最新]春中考数学总复习滚动小专题九圆的有关计算与证明试题

滚动小专题(九) 圆的有关计算与证明

类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD. (1)求证：BD平分∠ABC；

(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.

证明：(1)∵OD⊥AC，OD为半径， ︵︵∴CD＝AD.

∴∠CBD＝∠ABD. ∴BD平分∠ABC. (2)∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB＝30°.

∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°. 又∵OD⊥AC于E， ∴∠OEA＝90°.

∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD ＝180°－90°－60°＝30°. 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°.

1

在Rt△ACB中，BC＝AB，

21

∵OD＝AB，

2

∴BC＝OD.

2．(2016·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD延长线于点F，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F； (2)若sinB＝

5

，EF＝25，求CD的长． 5

解：(1)证明：连接DE. ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°. ∵E是AB的中点， ∴DA＝DB. ∴∠1＝∠B. ∵∠B＝∠F，

1

∴∠1＝∠F. (2)∵∠1＝∠F，

∴AE＝EF＝25. ∴AB＝2AE＝45.

在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4，

∴BC＝AB－AC＝8.

设CD＝x，则AD＝BD＝8－x，

222222

∵AC＋CD＝AD，即4＋x＝(8－x)， ∴x＝3，即CD＝3.

3．(2016·苏州)如图，AB是圆O的直径，D、E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE、DE、DF. (1)证明：∠E＝∠C；

(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；

2

(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是弧AB的中点，求EG·ED的值．

3

2

2

解：(1)证明：连接AD.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. ∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC. ∴AB＝AC.∴∠B＝∠C. ∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.

(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形， ∴∠AFD＝180°－∠E.

又∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°. 又∵∠E＝∠C＝55°，

∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°. (3)连接OE.

∵∠CFD＝∠AEG＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4. 2

在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，∴AB＝6.

3︵

∵E是AB的中点，AB是⊙O的直径， ∴∠AOE＝90°.

∵AO＝OE＝3，∴AE＝32. ︵

∵E是AB的中点，∴∠ADE＝∠EAB， ∴△AEG∽△DEA. ∴

AEDE2

＝，即EG·ED＝AE＝18. EGAE

类型2 与圆的切线有关的计算与证明

4．(2016·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心，OC为

2

半径作圆．

(1)求证：AB为⊙O的切线；

1

(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值．

3

解：(1)证明：作OD⊥AB于点D. ∵AO平分∠CAB，OC⊥AC， ∴OD＝OC.

∵OC是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线． (2)∵∠ACB＝90°，

∴AC是⊙O的切线．∴AC＝AD.

在Rt△ACB和Rt△OBD中，∵∠ABC＝∠OBD， ∴△ABC∽△OBD， ∴

OBODOC1＝＝＝tan∠CAO＝. ABACAC3

∵OC＝OD＝1，∴AC＝AD＝3.

设OB为x，则AB＝3x，BD＝AB－AD＝3x－3.

222222

在Rt△ODB中，OB＝OD＋DB，即x＝1＋(3x－3). 5

解得x1＝，x2＝1(不合题意，舍去)．

43DB3∴DB＝，∴cosB＝＝.

4OB5

5．(2016·威海)如图，在△BCE中，点A为边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF. (1)求证：CB是⊙O的切线；

(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．

解：(1)证明：连接OD，与AF相交于点G. ∵CE与⊙O相切于点D， ∴OD⊥CE.

∴∠CDO＝90°. ∵AD∥OC，

∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC. ∵OA＝OB，

∴∠ADO＝∠DAO. ∴∠DOC＝∠COB.

3

?CO＝CO，在△CDO和△CBO中，?

?∠DOC＝∠BOC，

??OD＝OB，∴△CDO≌△CBO(SAS)．

∴∠CBO＝∠CDO＝90°. ∴CB是⊙O的切线．

(2)由(1)可知∠OCD＝∠BCO，∠DOC＝∠COB， ∵∠ECB＝60°， ∴∠OCD＝1

2∠ECB＝30°.

∴∠DOC＝∠COB＝60°. ∴∠AOD＝60°. ∵OA＝OD，

∴△OAD是等边三角形． ∴AD＝OD＝OF.

?∠DOC＝∠ADG，在△FOG和△ADG中，?

?∠FGO＝∠AGD，

??OF＝AD，∴△FOG≌△ADG(AAS)．

∴S△ADG＝S△FOG. ∵AB＝6，

∴⊙O的半径r＝3，

602

∴SSπ·33

阴影＝扇形ODF＝360＝2

π.

6．(2016·十堰)如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C. (1)求证：∠ACD＝∠B；

(2)如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F； ①求tan∠CFE的值；

②若AC＝3，BC＝4，求CE的长．

解：(1)证明：连接OC. ∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠ACO. ∵CD是⊙O切线， ∴OC⊥CD.

∴∠DCO＝90°.

∴∠ACD＋∠ACO＝90°. ∵AB是直径，

∴∠OAC＋∠B＝90°. ∴∠ACD＝∠B.

(2)①∵∠CEF＝∠ECD＋∠CDE， ∠CFE＝∠B＋∠FDB，

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