综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．
【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF＝﹣1；
（3）先求直线MN的斜率kMN，根据切线性质可知PQ⊥MN，可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式．
【解答】解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2） ∴kST＝故答案为：
（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）． ∴kDE＝
＝﹣2，kDF＝
＝，
＝
∴kDE×kDF＝﹣2×＝﹣1，
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1． （3）设经过点N与⊙M的直线为PQ，解析式为y＝kPQx+b ∵M（1，2），N（4，5）， ∴kMN＝
＝1，
∵PQ为⊙M的切线 ∴PQ⊥MN ∴kPQ×kMN＝﹣1， ∴kPQ＝﹣1，
∵直线PQ经过点N（4，5）， ∴5＝﹣1×4+b，解得 b＝9 ∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+9．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2
【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．
（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值． （3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有
，再加上公共角∠PBD＝∠等于相似比，进而得
ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得
PD＝AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离
公式即求得CD的长．
【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5 ∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x+bx+c经过A，C两点 ∴
解得：
2
2
∴抛物线解析式为y＝x﹣6x+5
当y＝x﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5 ∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H ∵A（1，0），B（5，0），C（0，5） ∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝AB?OC＝×4×5＝10 ∵点M为x轴下方抛物线上的点 ∴设M（m，m﹣6m+5）（1＜m＜5） ∴MH＝|m﹣6m+5|＝﹣m+6m﹣5
∴S△ABM＝AB?MH＝×4（﹣m+6m﹣5）＝﹣2m+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）+8 ∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）+8]＝﹣2（m﹣3）+18 ∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD ∴BD＝5﹣4＝1 ∵AB＝4，BP＝2 ∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∵∠PBD＝∠ABP ∴△PBD∽△ABP ∴
∴PD＝AP
∴PC+PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小 ∵CD＝
∴PC+PA的最小值为
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