第2课时 反比例函数与一次函数的综合
宜宾中考考情与预测
年份 2019 近五年中考考情 考查点 题型 （1）求函数解析式，（2）求五边形面积 （1）求函数解析2018 式，（2）求三角形面积 （1）求函数解析2017 式，（2）求三角形面积 （1）求函数解析2016 2015 式，（2）求三角形面积 未单独考查 宜宾考题感知与试做
m
1.（2018·宜宾中考）如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝－x＋b的图
x
象经过反比例函数图象上的点Q（－4，n）.
解答题 22 10分 解答题 22 10分 解答题 22 10分 预计2020年宜宾中考，一次函数与反比例函数综合题出现的可能性较大，属重点考查内容，会以解答题的形式出现，分值12分. 解答题 22 10分 2020年中考预测 题号 分值 （1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积.
解：（1）由题意，得m＝1×4＝4，
4
∴反比例函数的表达式为y＝.
x
∵一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（－4，n），
4???n＝－4，?n＝－1，
∴?解得?
?b＝－5.???n＝－（－4）＋b.
∴一次函数的表达式为y＝－x－5；
4???y＝x，?x＝－4，??x＝－1，
?（2）由?得或? ??y＝－1y＝－4.????y＝－x－5.
∴P（－1，－4）.
∵一次函数y＝－x－5图象与x轴交于A点，令y＝0，即－x－5＝0，解得x＝－5，∴A（－5，0）. ∴S△OPQ＝S△OAP－S△OAQ 1115＝×5×4－×5×1＝. 222
k
2.（2019·宜宾中考）如图，已知反比例函数y＝（k＞0）的图象和一次函数y＝－x＋b的图象都过点
x
P（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积.
1
解：（1）由题意，得S△OAP＝|k|＝1，
2
∴|k|＝2.
∵k>0，∴k＝2.
2
∴反比例函数的解析式为y＝.
x
k
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点P（1，m），
x
2
∴m＝＝2.∴P（1，2）.
1
∵一次函数y＝－x＋b的图象过点P（1，2）， ∴2＝－1＋b，解得b＝3.
∴一次函数的解析式为y＝－x＋3；
（2）设直线y＝－x＋3交x轴、y轴于C、D两点， ∴C（3，0），D（0，3）.
y＝－x＋3，????x＝1，??x＝2，
?由?2得或? ??y＝2y＝1.y＝，????x
∴P（1，2），M（2，1）.
∴PA＝1，AD＝3－2＝1，BM＝1，BC＝3－2＝1.
1117
∴五边形OAPMB的面积为S△COD－S△BCM－S△ADP＝×3×3－×1×1－×1×1＝.
2222
宜宾中考考点梳理
两函数图象的交点坐标
1.两函数图象的交点坐标就是 两函数表达式组成方程组的解 Ｗ.反之，两函数表达式组成方程组的解就是 两函数图象的交点坐标 Ｗ.
正比例函数与反比例函数图象的交点
2.正比例函数与反比例函数图象的交点坐标就是 两函数表达式组成方程组的解 ，并且两点的坐标关于 原点 对称.
与一次函数结合的综合运用
与一次函 数结合 设问法 确定交 点坐标 确定函数 表达式
解题指导 联立两个函数表达式，利用方程思想求解 利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数表达式求解 m
1.若正比例函数y＝kx与反比例函数y＝相交于A、B两点，点A（－1，2），则点B的坐标为 （1，－
x
2） Ｗ.
m
2.（2017·宜宾中考）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（－3，m＋8）、B
x
（n，－6）两点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积.
mm
解：（1）将A（－3，m＋8）代入y＝，得＝m＋8，解得m＝－6.∴m＋8＝－6＋8＝2.∴A（－3，2）.
x－36
∴反比例函数的解析式为y＝－.
x6
将点B（n，－6）代入y＝－可得n＝1.
x
∴B（1，－6）. 将点A（－3，2）、B（1，－6）代入y＝kx＋b，得 ???－3k＋b＝2，?k＝－2，?解得? ?k＋b＝－6.?b＝－4.??
∴一次函数的解析式为y＝－2x－4； （2）设AB与x轴相交于点C， 令－2x－4＝0，解得x＝－2. ∴C（－2，0）.∴OC＝2.
11
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×6＝2＋6＝8.
22
中考典题精讲精练
多种函数图象分析
k
【典例1】在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝（k≠0）的图象大致是（ A ）
x
A B C D
【解析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案.
一次函数和反比例函数的交点问题
【典例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax＋b（a、b为常数，且a≠0）与反比例函数y2
m
＝（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（－2，1）、B（1，n）. x
（1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围.
【解析】（1）将A点坐标代入反比例函数表达式中求出m的值，即可得出反比例函数的表达式；将B点坐标代入反比例函数表达式中求出n的值，得出B点坐标，将点A与点B的坐标代入一次函数表达式中求出a与b的值，即可确定一次函数的表达式；（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，由S△AOB＝S△AOC＋S△COB，计算即可；（3）由图象直接可得自变量x的取值范围.
m
【解答】解：（1）将A（－2，1）代入y2＝，得m＝－2.
x
2
∴反比例函数的表达式为y2＝－.
x
2
将B（1，n）代入y2＝－，得n＝－2.
x
∴B（1，－2）.
将A（－2，1）与B（1，－2）代入y1＝ax＋b，得 ???－2a＋b＝1，?a＝－1，?解得? ?a＋b＝－2.?b＝－1.??
∴一次函数的表达式为y1＝－x－1； （2）设直线AB与y轴交于点C.
令x＝0，得y1＝－1，∴C（0，－1）.
113
∴S△AOB＝S△AOC＋S△COB＝×1×2＋×1×1＝；
222
（3）由图象可知
当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围是x＞1.
k
1.如图，在同一直角坐标系中，函数y＝与y＝kx＋k2的大致图象是（ C ）
x
A B C D
4
2.（2019·乐山中考）如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝
x1
x－2于点Q，连结OP、OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是3. 2
1k
－m，m－2?、B（1，3.（2019·南充中考）双曲线y＝（k为常数，且k≠0）与直线y＝－2x＋b交于A??2?x
n）两点.
（1）求k与b的值；
（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积.
1?解：（1）∵点A??－2m，m－2?，B（1，n）在直线y＝－2x＋b上，
???m＋b＝m－2，?b＝－2，?∴解得? ?－2＋b＝n.?n＝－4.??∴B（1，－4）.
k
把点B的坐标代入y＝，得
x
k
－4＝.∴k＝－4；
1
（2）∵直线AB的解析式为y＝－2x－2.
令x＝0，解得y＝－2；令y＝0，解得x＝－1， ∴C（－1，0），D（0，－2）.
1
－，－1?. ∵点E为CD的中点，∴E??2?
1311
1＋?＝. ∴S△BOE＝S△ODE＋S△ODB＝OD·（xB－xE）＝×2×??2?222
请完成《精练本》第22～23页作业
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