第2课时 正弦函数、余弦函数的性质
[核心必知]
1.预习教材,问题导入
根据以下提纲,预习教材P34~P40的内容,回答下列问题.
(1)观察正弦函数和余弦函数的图象,你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律?
提示:具有“周而复始”的变换规律. (2)正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性?
提示:正弦曲线关于原点对称,余弦曲线关于y轴对称.
(3)诱导公式sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,体现了正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的什么性质?
提示:正弦函数y=sin_x为奇函数,余弦函数y=cos_x为偶函数. (4)正、余弦函数的定义域、值域各是什么? 提示:正、余弦函数的定义域为R,值域为[-1,1].
?π3π?(5)正弦函数在?-,?上函数值的变化有什么特点?余弦函数在[0,2π]上函数值
2??2
的变化有什么特点?
?ππ?提示:y=sin x在?-,?上,曲线逐渐上升,是增函数,函数值y由-1增大到1;?22?
在??π,3π?上,曲线逐渐下降,是减函数,函数值y由1减小到-1.y=cos x在[0,π]
2??2?上,曲线逐渐下降,是减函数,函数值由1减小到-1,在[π,2π]上,曲线逐渐上升,是增函数,函数值由-1增大到1.
2.归纳总结,核心必记 (1)函数的周期性
①对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
②如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做
f(x)的最小正周期.
③记f(x)=sin x,则由sin(2kπ+x)=sin x(k∈Z),得f(x+2kπ)=f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立,余弦函数同理也是这样,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,最小正周期为2π.
(2)正、余弦函数的性质
函数 图 名象与 称 性质 图象 y=sin x y=cos x 定义域 值域 周期性 奇偶性 R [-1,1] 最小正周期为2π R [-1,1] 最小正周期为2π 奇函数 ππ??在?2kπ-,2kπ+? 22??偶函数 单调性 (k∈Z)上递增; π3π??在?2kπ+,2kπ+? 22??(k∈Z)上递减 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上递增;在[2kπ,2kπ+π] (k∈Z)上递减 对称轴 对称中心 x=kπ+(k∈Z) π2x=kπ(k∈Z) (kπ,0)(k∈Z) π2?kπ+π,0?(k∈Z) ??2??x=2kπ,k∈Z时,ymax=1;x=2kπ+π,k∈Z时,ymin=-1 x=2kπ+,k∈Z时,ymax=1;x=2kπ最值 -π,k∈Z时,ymin=-1 2[问题思考] (1)若f(2x+T)=f(x)恒成立,T是f(x)的周期吗?
提示:不是.自变量x本身加非零常数T才可以,即f(x+T)=f(x). (2)周期函数的定义域一定是x∈R吗?
提示:不一定,但周期函数的定义域一定是无限集. (3)周期函数的周期是唯一的吗?
提示:不唯一,若T是函数的周期,则kT(k∈Z)也是函数的周期.
(4)正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形,它们的对称中心和对称轴有什么关系?
提示:正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴,对称中心对应.
[课前反思]
(1)周期及周期函数的定义: ;
(2)正弦函数和余弦函数的性质: .
知识点1 讲一讲 1.求下列三角函数的周期: (1)y=3sin x,x∈R; (2)y=cos 2x,x∈R;
正、余弦函数的周期性 ?1π?(3)y=sin?x-?,x∈R;
4??3
(4)y=|cos x|,x∈R.
[尝试解答] (1)因为3sin(x+2π)=3sin x,由周期函数的定义知,y=3sin x的周期为2π.
(2)因为cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,由周期函数的定义知,y=cos 2x的周期为π.
(3)因为sin??1x+6π?3π?1x+2π-π?=sin?1x-π?, -?=sin?3?34?4?4??????
由周期函数的定义知,
?1π?y=sin?x-?的周期为6π.
?3
4?
(4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示,
由图象可知,y=|cos x|的周期为π.
类题·通法
求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法,将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利2π用T=求得;
|ω|
(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期. 练一练
1.求下列函数的最小正周期. (1)y=sin 2x; 1
(2)y=cos x;
2
?xπ?(3)y=2sin?-?; ?36?
(4)y=|sin x|.
解:(1)∵sin(2x+2π)=sin 2x, 即sin 2(x+π)=sin 2x, ∴y=sin 2x的最小正周期为π. 1?1?(2)∵cos?x+2π?=cos x, 2?2?11
即cos (x+4π)=cos x,
221
∴y=cos x的最小正周期为4π.
2
?xπ??xπ?(3)∵2sin?-+2π?=2sin?-?, ?36??36?
即2sin?
?1x+6π?3π?xπ?-?=2sin?-?, ?6??36?
?xπ?∴y=2sin?-?的最小正周期为6π.
?36?
(4)作出y=|sin x|的图象.
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