高中数学第一章三角函数的图象与性质(第2课时)正弦函数、余弦函数的性质教案

?π2π?函数y＝cos x在区间?，?上单调递减，

3??6

3??1

所以函数的值域为?－，?.

?22?

(2)令t＝cos x，则－1≤t≤1.∴y＝t－4t＋5＝(t－2)＋1， ∴t＝－1时，y取得最大值10，

2

2

t＝1时，y取得最小值2.

所以y＝cosx－4cos x＋5的值域为[2,10]．

类题·通法

求三角函数值域的常用方法

(1)求解形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x，cos x≤1)求解，求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．

(2)求解形如y＝asinx＋bsin x＋c(或y＝acosx＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．

练一练

2

2

2

?π2π?2

4．(1)已知函数y＝3cosx－4cos x＋1，x∈?，?，则该函数的值域为( )

3??3?115??115?A.?－，? B.?，?

?44??44?

1??151??15

C.?－，? D.?－，－?

4??44??4

π???π?(2)函数f(x)＝3sin?2x－?在区间?0，?上的值域为________． 6?2???2?21?2

解析：(1)y＝3cosx－4cos x＋1＝3?cos x－?－.

3?3?

?π2π??11?∵x∈?，?，∴cos x∈?－，?，

3??3?22?

1

∴当cos x＝，

2π1即x＝时，ymin＝－；

34

12π15当cos x＝－，即x＝时，ymax＝. 234

?π2π2

故函数y＝3cosx－4cos x＋1，x∈?，3?3?的值域为?－1，15?. ??44????

π?πππ5π1?(2)由0≤x≤，得0≤2x≤π，于是－≤2x－≤，所以－≤sin?2x－?≤1，

6?26662?3π

即－≤3sin2x－≤3，

26

?3?所以f(x)∈?－，3?.

?2??3?答案：(1)A (2)?－，3? ?2?

[课堂归纳·感悟提升]

1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．

2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点

(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．

(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．

(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.

3．要重点掌握函数性质的应用 (1)求正、余弦函数的周期，见讲1； (2)判断正、余弦函数的奇偶性，见讲2； (3)求正、余弦函数的单调区间，见讲3； (4)求正、余弦函数的值域，见讲4. 4．本节课的易错点有以下两处

(1)求形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果ω＜0，应先利用诱导公式将其转化为正值，如讲3(1)．

(2)求形如函数y＝Asinx＋Bsin x＋C的值域时，易忽视正弦函数y＝sin x的有界性，如讲4(2)．

2

课下能力提升(九)

[学业水平达标练]

题组1 正、余弦函数的周期性 π

1．下列函数中，周期为的是( )

2A．y＝sin B．y＝sin 2x

2C．y＝cos D．y＝cos 4x

4

2π

解析：选D 由公式T＝可得，选D.

|ω|

xx?kπ?2．函数y＝cos?x＋?(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是

3??4

________．

2π

解析：由T＝≤2，

k4

解得k≥4π，又k∈Z， ∴满足题意的最小值是13. 答案：13

题组2 正、余弦函数的奇偶性 3．函数f(x)＝A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

解析：选A 因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}关于原点对称，又f(－x)＝

sin x的奇偶性是( )

1＋cos x

1＋

－x－xsin x＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.

1＋cos x?1?4．函数y＝sin?x－φ?(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( ) ?2?

π

A．0 B.

4C.

π

D．π 2

解析：选C 由题意，得sin(－φ)＝±1，即sin φ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以π

φ＝.故选C.

2

题组3 正、余弦函数的单调性 5．下列函数中，周期为π，且在?

?π，π?上为减函数的是( )

??42?

π?π???A．y＝sin?2x＋? B．y＝cos?2x＋? 2?2???

?π??π?C．y＝sin?x＋? D．y＝cos?x＋? 2?2???

π??解析：选A 因为函数的周期为π，所以排除C、D.又因为y＝cos?2x＋?＝－sin 2x2??在?

?π，π?上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin?2x＋π?的周期为π，且在?π，π?上

???42?2??42?????

3π4π9π

6．sin，sin，sin，从大到小的顺序为________．

5510π3π4π9π

解析：∵＜＜＜＜π，

25510

为减函数．

?π?又函数y＝sin x在?，π?上单调递减，

?2?

3π4π9π

∴sin＞sin＞sin. 55103π4π9π答案：sin＞sin＞sin 5510

1?π?7．求函数y＝sin?－x?，x∈[0，π]的单调递增区间． 3?6?1?π?解：由y＝－sin?x－?的单调性，

6?3?ππ3π

得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 262