x12x22解：设A（x1，），B（x2，），
44由抛物线C：x2＝1y，得y?∴kAP?121x，则y′?x． 4211x1，kPB?x2， 22uuuruuur1由PA?PB?0，可得x1x2??1，即x1x2＝﹣1．
4xx又kOA?1，kOB?2，
44xx?41??． ∴kOA?kOB?12?16164故选：A．
点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切
2点，先设A(2a,a2),B(2b,b),a1b,再求切线PA,PB方程，
求点P坐标，再根据PA.PB?0得到ab??1,最后求直线OA与OB的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
uuuvuuuvx2y213．若椭圆C：??1的一个焦点坐标为?0,1?，则C的长轴长为_______．
mm2?1【答案】23 【解析】 【分析】
由焦点坐标得m2?1?m?1从而可求出m?2，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长. 【详解】
解：因为一个焦点坐标为?0,1?，则m2?1?m?1，即m2?m?2?0，解得m?2或m??1
x2y2y2x2由??1表示的是椭圆，则m?0，所以m?2，则椭圆方程为??1
32mm2?1所以a?3,2a?23. 故答案为:23. 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略m?0，从而未对m 的两个值进行取舍.
xyx214．已知椭圆?y2?1与双曲线2?2?1（a?0,b?0）有相同的焦点,其左、右焦点分别为F1、F2,
2ab若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P,且F1P?F1F2,则双曲线的离心率为__________． 【答案】【解析】 【分析】
222?2 2x2先根据椭圆?y2?1得出焦距,结合椭圆的定义求出F1P,PF2,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最
2后利用离心率的公式求出离心率即可. 【详解】
x2,0?,F2?1,0?, 解: 因为椭圆?y2?1,则焦点为F1??12xyx2又因为椭圆?y2?1与双曲线2?2?1（a?0,b?0）有相同的焦点,
2ab椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P,且F1P?F1F2, 在椭圆中: F1F2?2c?2,PF1?F1F2?2 由椭圆的定义: PF2?2a?PF1?22?2在双曲线中: PF1?PF2?2?22?2?4?22, 所以双曲线的实轴长为: 4?22,实半轴为2?2 则双曲线的离心率为: e?22??12?2. ?22?2故答案为:
2?2 2
【点睛】
本题主要考查椭圆与双曲线的定义,考查离心率的求解,利用定义解决综合问题. 15．若向量a?(x?1,2)与向量b?(2,1)垂直，则x?______. 【答案】0 【解析】 【分析】
直接根据向量垂直计算得到答案. 【详解】
rrrrr向量?2?i与向量b?(2,1)垂直，则a?b??x?1,2???2,1??2x?2?2?0，故x?0.
故答案为：0. 【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力. 16．若关于x的不等式log1(42x?1???2x)?0在x?0时恒成立，则实数?的取值范围是_____
【答案】???3 【解析】 【分析】
利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得?的取值范围。 【详解】 由log1(42x?1???2x)?0 得4x?1???2x?1，两边同除以x，得到，??1?4?2x，
22x???上递减， Qx>0，设t?2x?1，????4t，由函数y??4t 在?1，所以?4t?1?4??3，故实数?的取值范围是???3。 【点睛】
本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．设f(x)?xex?ax2，g(x)?lnx?x?x?1?（1）求g?x?的单调区间；
（2）设h?x??f?x??ag?x??0恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为?0,1?，单调递减区间为(1,??)；（2）0?a?e 【解析】 【分析】 （1）g(x)?''21t1t1te(a?0) a?(2x?1)(x?1)''，令g?x??0，g?x??0解不等式即可；
xx（2）h(x)?(x?1)e?aa(x?1)ax?(x?1)(ex?)，令h??x??0得x0，即e0?，且h(x)的最小值为
x0xxa即可解决. x0xh?x0??x0e?alnx0?ax0?a?e，令h?x0??0，结合e0?x0【详解】 （1）g(x)?1?'1?(2x?1)(x?1)?2x?，x?(0,??) xx'当x??0,1?时，g?x??0，g?x?递增， 当x?(1,??)时，g?x??0，g?x?递减.
'故g?x?的单调递增区间为?0,1?，单调递减区间为(1,??). （2）h(x)?f(x)?ag(x)?xe?alnx?ax?a?e，
xh'(x)?(x?1)ex?a(x?1)a?(x?1)(ex?)， xxa可得， x0xa?0，设h??x??0的根为x0，即有e0?x0?lna?lnx0，当x??0,x0?时，h'?x??0，h?x?递减，
当x?(x0,??)时，h?x??0，h?x?递增.
'?h(x)min?h?x0??x0ex0?alnx0?ax0?a?e
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