2.3 等差数列前n项和的性质

第2课时 等差数列前n项和的性质

利用等差数列前n项和的函数特征求最值．学习目标

会利用等差数列性质简化求和运算.2.会

1.

知识点一 等差数列{an}的前n项和Sn的性质

性质1 等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，S偶an＋1＝(S奇≠0)； S奇an若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的S偶n－1中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0) nS奇性质3

思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？

答案 (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d， (a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d. ∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列． 知识点二 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征

n?n－1?ddd

a1－?n.当d≠0时，Sn关于n1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋?2??22的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说dd

a1－?x上横坐等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋?2??2标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值

?Sn?{an}为等差数列??n?为等差数列 ??性质2 (1)在等差数列{an}中，

?an≥0，?

当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组?确定；

?a≤0?n＋1??an≤0，

当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组?确定．

?an＋1≥0?

dd

a1－?n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0(2)Sn＝n2＋?2??2时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．

1．等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．( × )

?Sn?d

2．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.则?n?的公差为.( √ )

2??

3．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．( √ )

题型一 等差数列前n项和性质的应用

例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m； Sn7n＋2a5(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．

Tnn＋3b5解 (1)方法一 在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30,70，S3m－100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.

SmS2mS3m

方法二 在等差数列中，，，成等差数列，

m2m3m∴

2S2mSmS3m

＝＋. 2mm3m

即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. 9?a1＋a9?1

?a1＋a9?

2a52S97×9＋265

(2)＝＝＝＝＝. b51T9129?b＋b?9＋319?b1＋b9?

2

2

反思感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．

跟踪训练1 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和． 解 方法一 设Sn＝an2＋bn. ∵S10＝100，S100＝10，

2??10a＋10b＝100，∴?

2a＋100b＝10，100??

?解得?111

b＝?10.

11a＝－，

100

11111

∴Sn＝－n2＋n.

10010

11111

∴S110＝－×1102＋×110＝－110.

10010方法二 S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100

a11＋a100

＝90·＝－90，

2a11＋a100∴＝－1，

2

110×?a1＋a110?

∴S110＝＝－110.

2

题型二 求等差数列前n项和的最值问题

例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值． 解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25， 9?9－1?17?17－1?

∴9×25＋d＝17×25＋d，

22解得d＝－2.

n?n－1?

∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n

2＝－(n－13)2＋169.

∴当n＝13时，Sn有最大值169. 方法二 同方法一，求出公差d＝－2. ∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. ∵a1＝25>0，

??an＝－2n＋27≥0，由? ??an＋1＝－2?n＋1?＋27≤0，

?n≤132，得?1

n≥12?2，1

又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169. 方法三 同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17， ∴a10＋a11＋…＋a17＝0.

由等差数列的性质得a13＋a14＝0. ∴a13>0，a14<0.