创新设计（浙江专用）高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质练习

专题二 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质练习

一、选择题

1.(2016·山东卷)函数f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x)的最小正周期是( ) A.C.π

23π 2

B.π D.2π

π??22

解析 ∵f(x)＝2sin xcos x＋3(cosx－sinx)＝sin 2x＋3cos 2x＝2sin?2x＋?，

3??∴T＝π，故选B. 答案 B

π??2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A＞0，ω＞0，|φ|＜?的部分图象如图所示，则将y＝f(x)

2??π

的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为( )

6

A.y＝sin 2x 2π??C.y＝sin ?2x＋? 3??

B.y＝cos 2x π??D.y＝sin?2x－? 6??

311ππ3π?π?解析 由图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，∴ω＝2，由sin?2×＋φ?＝1，|φ|

641264??＜

π?πππππ?得＋φ＝?φ＝?f(x)＝sin?2x＋?，则图象向右平移个单位后得到的图

6?23266?

π???π?π??象的解析式为y＝sin?2?x－?＋?＝sin?2x－?.

6?6?6????答案 D

3.(2016·温州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象关于直线xπ?7π?＝对称，且f??＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )

3?12?A.C.π 62π 3

B.D.π 35π 6

7πππ12π

解析 由－＝≥×，解得ω≥2，故ω的最小值为2.

12344ω5π?7π??π?此时sin?2×＋φ?＝0，即sin?＋φ?＝0，又0＜φ＜π，所以φ＝. 126???6?

1

答案 D

π???π?4.(2016·北京卷)将函数y＝sin?2x－?图象上的点P?，t?向左平移s(s＞0)个单位长3???4?度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( ) 1π

A.t＝，s的最小值为 261πC.t＝，s的最小值为 23

B.t＝D.t＝

3π

，s的最小值为 263π，s的最小值为 23

π??π??解析 点P?，t?在函数y＝sin?2x－?图象上，

3??4??π1?ππ?则t＝sin?2×－?＝sin＝. 43?62?

π??又由题意得y＝sin?2（x＋s）－?＝sin 2x，

3??ππ

故s＝＋kπ，k∈Z，所以s的最小值为.

66答案 A

?π??π?5.(2016·唐山期末)已知函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)，f??＋f??＝0，且

?6??2??ππ?f(x)在区间?，?上递减，则ω＝( )

?6

2?

A.3 C.6

B.2 D.5

π??π??π??解析 ∵f(x)＝2sin?ωx＋?，f??＋f??＝0.

3??6??2??ππ

＋62π

∴当x＝＝时，f(x)＝0.

23∴

ππ

ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝3k－1，k∈Z，排除A、C； 33

?ππ?又f(x)在?，?上递减，

?62?

把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2. 答案 B 二、填空题

6.(2016·浙江卷)已知2cosx＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.

解析 ∵2cosx＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x

2

2

2

＝2?

π?2?2??

cos 2x＋sin 2x?＋1＝2sin?2x＋4?＋1

??2?2?

＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝2，b＝1. 答案

2 1

7.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________.

解析 在区间[0，3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：

由图象可得两图象有7个交点. 答案 7

8.(2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________.

π??解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin?ωx＋?，

4??

因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必πππ2

为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω＝＋2kπ，k424

2π

∈Z.又ω－(－ω)≤答案

三、解答题

13

9.已知函数f(x)＝4sinxcos x－2sin xcos x－cos 4x.

2(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

π 2

ωπππ22

，即ω≤，则ω＝，所以ω＝. 2242

?π?(2)求f(x)在区间?0，?上的最大值和最小值. 4??

3

12

解 f(x)＝2sin xcos x(2sinx－1)－cos 4x

2111

＝－sin 2xcos 2x－cos 4x＝－sin 4x－cos 4x

222＝－

π?2?

sin?4x＋?.

4?2?

2ππ

(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝. 42ππ3π

令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，

242得

kππ

kπ5π

＋≤x≤＋，k∈Z. 216216

所以f(x)的单调递增区间为?

?kπ＋π，kπ＋5π?，k∈Z.

16??2162?

πππ5π

(2)因为0≤x≤，所以≤4x＋≤. 4444此时－所以－

π?2?≤sin?4x＋?≤1，

4?2?

π?12221?≤－sin?4x＋?≤，即－≤f(x)≤. 4?22222?

12?π?所以f(x)在区间?0，?上的最大值和最小值分别为，－. 4?22?π?323?2

10.设函数f(x)＝sin?2x＋?＋sinx－cosx.

3?33?(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)将函数f(x)的图象向右平移

π

个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间3

?－π，π?上的值域. ?63???

133

解 (1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x－cos 2x

223π?133?

＝sin 2x＋cos 2x＝sin?2x＋?.

6?263?2π

所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.

2ππ

令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，

62得对称轴方程为x＝

kππ

2

＋(k∈Z)，

6

π

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，

3得到函数g(x)＝333??π?π?sin?2?x－?＋?＝－cos 2x的图象，即g(x)＝－cos 2x.

3?6?333??

4