【考情解读】
1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 【重点知识梳理】 1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质
图形 y2＝2px(p>0) 源:Z&xx&k.Com] 来 x2＝2py(p>0) 标准方程 顶点 对称轴 焦点 性质 离心率 准线方程 范围 y2＝－2px(p>0) x2＝－2py(p>0) 来源:Zxxk.Com]来源学_科_网][来源学+科+网 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 O(0，0) y＝0 x＝0 ?p?F2，0 ??e＝1 px＝－2 x≥0，y∈R ?p?F－2，0 ??px＝2 x≤0，y∈R 向左 ?p?F0，2 ??py＝－2 y≥0，x∈R 向上 p??F0，－2 ??py＝2 y≤0，x∈R 向下 开口方向 向右 【高频考点突破】 考点一 抛物线的定义及应用
【例1】 (1)F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
(2)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．
【变式探究】 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.
179 B．3 C.5 D. 22
考点二 抛物线的标准方程和几何性质
x2y2
【例2】 (1)已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双
ab
曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
83163A．x2＝y B．x2＝y
33C．x2＝8y D．x2＝16y
(2)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．
【变式探究】 (1)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
431
A．－ B．－1 C．－ D．－ 342
(2)(2014·湖南卷)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a 抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝________． a 考点三 抛物线焦点弦的性质 【例3】 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O. 【变式探究】 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： p2 (1)y1y2＝－p，x1x2＝； 4 2 11(2)＋为定值； |AF||BF| (3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 考点四 直线与抛物线的位置关系 【例4】 (2014·大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，5 与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|. 4 (1)求C的方程； (2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程． 【变式探究】 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·FB＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【真题感悟】 2221.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线y?4x相交于A，B两点，与圆?x?5??y?r?r?0?2→→相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ） （A）?1，3? （B）?1，4? （C）?2，3? （D）?2，4? x2y2y?4x?x?5??y?r?r?0?2.【2015高考天津，理6】已知双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的 ab2222一条渐近线过点2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线y2?47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) ??x2y2x2y2x2y2x2y2?1（C）???1 （B）??1（D）??1 （A） 2821212834433.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线y?4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 2A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则?BCF与?ACF的面积之比是（ ） A. BF?1AF?1 B. BF?1AF?122 C. BF?1AF?1 D. BF?1AF?122 4.【2015高考上海，理5】抛物线y2?2px（p?0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则 p? ． － 21．（2014·广东卷）曲线y＝e5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________． 2．（2014·辽宁卷）已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( ) 1234A. B. C. D. 2343 3．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF→→ 与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|＝( ) 7 A. B．3 25 C. D．2 2 4．（2014·安徽卷）如图1-4，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点． 图1-4 (1)证明：A1B1∥A2B2； (2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1 S1与S2，求的值． S2 5．（2014·湖北卷）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公
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