年大连市高等数学竞赛试题B答案

学 校 大连市第二十三届高等数学竞赛试卷 答案（B）

阅卷人 一、填空题（本大题共5小题，每小题

2分，总计10分）

n1. lim?n???n?1??n?1??= e^2 .

2. limtanx?sinxx?0x3= 1/2 .

3. xlim?0?xx= 1 . xcos2 lim?tdt4.0x?0x= 1 .

5. 若limx2?ax?b?2?2,则(a,b)?(?4,5).x?1x2?x

阅卷人 ?31 二、（本题10分）设f(x)???xsinx(x?0), 求??1(x?0),f?(x).

解 当x?0时，f(x)?x3sin1x为一初等函数，这时

f?(x)?3x2sin1x?x3???cos1??1?x?????x2???3x2sin11（6分） x?xcosx;当x?0时，由于

lim1x?0f(x)?limx?0x3sinx?0?f(0),（8分） 所以f(x)在x?0处不连续，由此可知f(x)在x?0处不可导。（10分）

题 号 分 数 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 x2?x11?2的间断点，并判断二、 三、（本题8分）求函数f(x)?2 x?1类型.

解：x?0,x?1,x??1为间断点。（3分）

当x?0时，

由于x1?x2xlim?0?f(x)?limx?0?x?1|x|?1,

而x1?x2limx?0?f(x)?limx?0?x?1|x|??1, 所以x?0是跳跃间断点。（5分） 当x?1时，

由于limx?1f(x)?limx1?x2x?1x?1|x|?1, 所以x?1是可去间断点。（7分） 当x??1时， 而limx??1f(x)??, 所以x??1是无穷间断点。（8分）

考生注意： 考试时间 150 分钟 x试卷总分 100 分

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学 校 姓 名 四、阅卷人（本题 10分）曲线y?13x6(x?0)上哪一点处的法线在y轴上的截距最小？ 解 设y?13x6在(x,y)处的法线方程为 Y?y?k(X?x)，

因为y??2x5，所以k??12x5，法线方程为 Y?y??12x5(X?x)，（4分） 整理后为 Y?y?X11112x5?2x4??2x5X?2x4?3x6，

法线在y轴上的截距为 b?112x4?3x6。（6分）

求此函数的极值：令b??0，解得x1?1,x2??1（舍去）;（8分）

b???10x?10x46,b??(1)?20?0, 故b(1)为极小值。由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点??1,1??3??处的法线在y轴上截距最小。（10分）