解得－
33－23＋2＜k＜或k＞，经检验，满足题意． 622
33－23＋2
＜k＜或k＞. 622
2
所以直线l斜率k的取值范围是－
10．(2017·新乡三模)已知抛物线C：x＝2py(p＞0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(导学号 55410133)
(1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值；
→→→→
(2)是否存在实数p，使|2QA＋QB|＝|2QA－QB|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．
解：(1)因为直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0，2)， 所以F(0，2)，则抛物线C的方程为x＝8y，准线l：y＝－2. 设过D作DG⊥l于G，则|DF|＋|DE|＝|DG|＋|DE|， 当E，D，G三点共线时，|DF|＋|DE|取最小值为2＋3＝5.
2
(2)假设存在实数p，满足条件等式成立． 联立x＝2py与2x－y＋2＝0， 消去y，得x－4px－4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，所以Q(2p，2p)． →→→→因为|2QA＋QB|＝|2QA－QB|， →→
所以QA⊥QB，则QA·QB＝0.
因此(x1－2p)(x2－2p)＋(y1－2p)(y2－2p)＝0. (x1－2p)(x2－2p)＋(2x1＋2－2p)·(2x2＋2－2p)＝0， 5x1x2＋(4－6p)(x1＋x2)＋8p－8p＋4＝0，
12
把x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p代入得4p＋3p－1＝0，解得p＝或p＝－1(舍去)．
4→→→→
1
因此存在实数p＝，使得|2QA＋QB|＝|2QA－QB|成立．
4
2
2
2
5
x2y22?a?11．(2017·唐山一模)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点Q?b，?在ab2?b?
椭圆上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．
x2y22
解：(1)因为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，
ab2c2a2－b2122
所以e＝2＝2＝，得a＝2b，①
aa2
2
又点Q?b，?在椭圆C上，
??
a?b?
b2a2
所以2＋4＝1，②
ab联立①、②得a＝8，且b＝4. 所以椭圆C的方程为＋＝1.
84
(2)当直线PN的斜率k不存在时，PN的方程为x＝2或x＝－2，从而有|PN|＝23，
2
2
x2y2
S＝|PN|·|OM|＝×23×22＝26；
当直线PN的斜率k存在时，
设直线PN的方程为y＝kx＋m(m≠0)，
1212
P(x1，y1)，N(x2，y2)；
将PN的方程代入C整理得(1＋2k)x＋4kmx＋2m－8＝0， －4km2m－8
所以x1＋x2＝2，x1·x2＝2，
1＋2k1＋2k22
2
2
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝
→→→
由OM＝OP＋ON， 得M?
2m2. 1＋2k?－4km2，2m2?.
??1＋2k1＋2k?
2
2
将M点坐标代入椭圆C方程得m＝1＋2k. 又点O到直线PN的距离为d＝|PN|＝1＋k|x1－x2|，
2
|m|1＋k2，
S＝d·|PN|＝|m|·|x1－x2|＝1＋2k2·|x1－x2|＝16k2－8m2＋32＝26.
6
综上可知，平行四边形OPMN的面积S为定值26.
[典例] (本小题满分12分)设圆x＋y＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
规范解答：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)＋y＝16，从而圆心A(－1，0)，|AD|＝4. 所以|EA|＋|EB|＝4.(2分) 又因为B(1，0)，所以|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．(4分)
43
(2)解：当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
2
2
2
2
x2y2
y＝k（x－1），??22
2222
由?xy得(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0，
＋＝1??43
8k4k－12则x1＋x2＝2，x1x2＝2，
4k＋34k＋3
12（k＋1）
所以|MN|＝1＋k|x1－x2|＝.(6分) 2
4k＋3
2
2
2
2
1
过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，点A到直线m的距离为
2
kk＋1
2
，
所以|PQ|＝2
?2?24－?2?＝4
?k＋1?
2
4k＋3
.(8分) k2＋1
1
1＋2.(9分) 4k＋3
2
1
故四边形MPNQ的面积S＝|MN|| PQ|＝12
2
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83)．(10分) 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8， 故四边形MPNQ的面积为12.
综上可知，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83)．(12分)
7
1．正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第(1)问就涉及椭圆的定义．
2．注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分10分，导致失2分.
3．写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚．
解题程序 第一步：利用条件与几何性质，求|EA|＋|EB|＝4. 第二步：由定义，求点E的轨迹方程＋＝1(y≠0)．
43第三步：联立方程，用斜率k表示|MN|.
第四步：用k表示出|PQ|，并得出四边形的面积． 第五步：结合函数性质，求出当k存在时S的取值范围． 第六步：求出斜率不存在时面积S的值，正确得出结论．
[跟踪训练] (2017·郴州三模)已知抛物线E：y＝8x，圆M：(x－2)＋y＝4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C.(导学号 55410057)
(1)求曲线C的方程；
(2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，
2
2
2
x2y2
B两点，求△QAB的面积的最小值．
解：(1)设P(x，y)，则点N(2x，2y)在抛物线E：y＝8x上，所以4y＝16x，所以曲线
2
2
C的方程为y2＝4x；
(2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)． 令y＝0，得x＝x0－. |2k＋y0－kx0|圆心(2，0)到切线的距离d＝＝2， 2
k＋1整理得(x0－4x0)k＋(4y0－2x0y0)k＋y0－4＝0. 设两条切线的斜率分别为k1，k2， 2x0y0－4y0y0－4
则k1＋k2＝2，k1k2＝2.
x0－4x0x0－4x0
2
2
2
2
y0
ky0??y0?1?
所以△QAB面积S＝?x0－－?x0－??y0＝
k2??k1?2?
2·x20
x0－1
. 设t＝x0－1∈[4，＋∞)，则f(t)＝
8
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