(浙江专用)202x版高考数学新增分大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线讲义(含解析)

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§9.6 双曲线

最新考纲 了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系. 考情考向分析 主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.题型为选择、填空题.

1.双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2图形 范围 性质 对称性 顶点 渐近线 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a，0)，A2(a，0) by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x b精品

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离心率 ce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 a精品

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线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲实虚轴 线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲 a，b，c的关系 概念方法微思考

线的虚半轴长 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？ 提示 不一定.

当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？

提示 若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.

3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0，0

ca1＋??2，故当a>b>0时，10时，e＝2

?b??a?

(亦称等轴双曲线)，当02.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )

x2y2

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )

mnx2y2x2y2xy(3)双曲线方程2－2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是2－2＝0，即±＝0.( √ )

mnmnmn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( √ )

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