操作探究专题
一.选择题
1.（2019?河北省?3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．10
B．6
C．3
D．2
C．【解答】解：如图所示，n的最小值为3，
2.（2019?黑龙江省绥化市?3分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（ ） ①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个 ②当0＜x＜42﹣2时，P点最多有9个 ③当P点有8个时，x＝22﹣2
④当△PEF是等边三角形时，P点有4个
A．①③ 答案：B
B．①④ C．②④ D．②③
考点：正方形的性质，等腰三角形，等边三角形的判定。 解析：①当x＝0（即E、A两点重合）时，如下图， 分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个P点， 以AF为直径作圆，有2个P点，共6个， 所以，①正确。
②当0＜x＜42﹣2时，P点最多有8个， 故②错误。
3. （2019?河北省?2分）如图，若x为正整数，则表示
﹣
的值的点落在（
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
）B．解∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又∵x为正整数， ∴≤x＜1
故表示﹣的值的点落在②
4. （2019?河北省?2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．
甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13． 乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14． 丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的下列正确的是（ ）
倍时就可移转过去；结果取n＝13．
A．甲的思路错，他的n值对 B．乙的思路和他的n值都对 C．甲和丙的n值都对
D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
B．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14； 乙的思路与计算都正确；
乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；
三.解答题
1.（2019?湖北省仙桃市?10分）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式： AB+AC＝AD ；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证
明你的结论；
（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求
的值．
【分析】（1）在AD上截取AE＝AB，连接BE，由条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE＝AC，则AB+AC＝AD；
（2）延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD＝AD，证得AB+AC＝
；
（3）延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND＝AD，∠N＝∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得
，可由AN＝AB+AC，求出
的值．
【解答】解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE， ∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形， ∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD， ∴△BED≌△BAC（SAS）， ∴DE＝AC，
∴AD＝AE+DE＝AB+AC； 故答案为：AB+AC＝AD． （2）AB+AC＝
AD．理由如下：
如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM， ∵四边形ABDC内接于⊙O，
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