旗开得胜
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、知识梳理
1．两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理 完成一件事有两类方案．在第1类方条件 案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 1
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旗开得胜 结论 完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 完成这件事共有N＝mn种不同的方法 2.两个计数原理的区别 分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
常用结论
三个易错点
(1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步．
(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准．
(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连．
二、教材衍化
1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )
A．16 B．13
C．12 D．10
解析：选C.将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法4×3＝12(种)．
2
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旗开得胜 2．如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．
解析：不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)．
答案：32
3．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．
解析：分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6.
答案：6
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )
3
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旗开得胜 (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，事件是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、易错纠偏
常见误区Ｋ分类、分步标准不清致误
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1．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( )
A．30 B．20
C．10 D．6
解析：选D.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，
共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
2．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为________．
解析：3个新节目一个一个插入节目单中，分别有7，8，9种方法，所以不同的插法种数为7×8×9＝504.
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