1. (2014·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点. 求证：∠OCB＝∠D.
证明 因为B，C是圆O上的两点， 所以OB＝OC. 故∠OCB＝∠B.
又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，
故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D. 因此∠OCB＝∠D.
2.(2013·江苏卷) 如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
证明 连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以Rt△ADO∽Rt△ACB. BCAC所以＝.
ODAD又BC＝2OC＝2OD， 故AC＝2AD.
3.(2012·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C.
证明 如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点， 所以OD∥AC，
于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD， 所以∠ODB＝∠B. 于是∠B＝∠C.
因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB
异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
4.(2011·江苏卷)如图，圆O1与O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2).圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上). 求证：AB∶AC为定值.
证明 如图，连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD、CE.
∵圆O1与圆O2内切于点A，
∴点O2在AD上，故AD、AE分别为圆O1，圆O2的直径. 从而∠ABD＝∠ACE＝90°.
ABAD2r1r1∴BD∥CE，于是AC＝AE＝2r＝r，
2
2
∴AB∶AC为定值.
5.(2015·湖南卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明： (1)∠MEN＋∠NOM＝180°； (2) FE·FN＝FM·FO.
证明 (1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.
(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO. 6.(2016·无锡一模) 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，︵︵
E为⊙O上一点，AC＝AE，DE交AB于点F. (1)证明：DF·EF＝OF·FP； (2)当AB＝2BP时，证明：OF＝BF. 证明：(1)如图，连接EO，
︵︵
因为AC＝AE，所以∠AOE＝∠CDE，所以∠EOF＝∠PDF， 又∠EFO＝∠PFD，所以△EFO∽△PFD，
OFEF所以DF＝PF， 所以DF·EF＝OF·FP. (2)设BP＝a，由AB＝2BP， 得AO＝BO＝BP＝a，
由相交弦定理得DF·EF＝AF·BF， 由(1)得AF·BF＝OF·FP， 所以(a＋OF)·BF＝OF·(a＋BF)， 所以OF＝BF.
7.(2016·苏州一模)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长. (1)证明 因为AB∥CD， 所以∠BAF＝∠AED. 又因为∠BFE＝∠C，
∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE， 所以∠BFA＝∠ADE. 所以△ABF∽△EAD.
(2)解 因为BE⊥CD，AB∥DC，所以EB⊥AB，△ABE为直角三角形， 因为∠BAE＝30°，所以∠AEB＝60°， AB3所以AE＝sin 60°＝2，
BFAB
又△ABF∽△EAD，所以AD＝AE， AB33
所以BF＝AE·AD＝2.
8.(2015·全国Ⅱ卷) 如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积. (1)证明 由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC， 所以AD是∠CAB的平分线.
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF. 从而EF∥BC.
(2)解 由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上. 连接OE，OM，则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.
因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2.
1103
因为OM＝OE＝2，DM＝2MN＝3，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝3. 1?10
所以四边形EBCF的面积为×?
2?3
3131633?2
?×－×(23)2×＝.
2223?
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