常微分方程练习题
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第一二章
一．填空题
1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。 2．一阶微分方程________________。
3. 方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是
__________________。有只含y的积分因子的充要条件是________________________。 4． 称为伯努利方程，它有积分因子 。
5. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点?x,y?处 的切线斜率为2x?y，则曲线方程为_____________________。
二.求一曲线，其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。 三.求出伯努利方程的积分因子。 四．求下列方程的通解。 1．y?3?x3(1?y?)?0 2.
dyx?y?1 = 2dxx?y?3是恰当方程的充分必要条件是
3． x(4ydx+2xdy)+y3(3ydx+5xdy)=0 4．（y-1-xy）dx+xdy=0 5．
dy=y+sinx dx6．(x2y3+xy)y'=1
7．(x2-1)y'+y2-2xy+1=0
1
2xy2?3x28.3dx+dy=0 4yy9. xdy?(y?x2y4)dx?0。 10.
五．证明题。
1．一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解 2．齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。
第三章
一． 填空：
1．
函数f(x,y)称为在矩形域R上满足利普希兹条件，如果
dy?y?xy5 dx 。 2． 3． 则方程
对毕卡逼近序列，?k?x???k?1?x?? 。
若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，
dy?f?x,y?的解y???x,x0,y0?作为x,x0,y0的函数在它的存在范围dx是 。
4． 5．
微分方程的奇解是指__________________________。 方程
dy?x2?y2定义在矩形域R：?2?x?2,?2?y?2上，则 dx经过点（0，0）的解的存在区间是_____________________-。 二． 求解下列各题：
1．
求方程
dy?x?y2过点（0，0）的第三次近似解。 dx2．
?dy??x2?y2求初植问题?dx R；x?1?1,y?1的解的存在区间，并求第二近
??y??1??0 2
似解，给出解的存在区间的误差。
三． 证明题：
假设函数f?x,y?于?x0,y0?的领域内是y的不增函数，试证方程件y?x0??y0的解于x?x0一侧最多只有一个。
第四章
一．
填空：
dy?f?x,y?满足条dx1．_____________________称为n阶齐线性微分方程。
2．x1(t)非零为二阶齐线性方程x''?a1(t)x'?a2(t)x?0的解，这里
a1?t?
和a2?t?于区间?a,b?上连续，则x2?t?是方程解的充要条件是
_________________。
３．常系数非齐线性方程中，若f?t??b0tm?b1tm?1???bm?1t?bme?t， 其中?与bi为实常数，那么方程有形如___________的特解。
４．在n阶常系数齐线性方程中，a1,a2?,an为常数，则它的特征方程为_____________________。
d2ydy５．若方程2?p?x??q?x?y?0中满足_______________条件，则方程有形如
dxdxy??anxn的特解。
n?0???６．微分方程xy'''?2y'?3y4?0的阶数为_____________。
７．设x1?t??0是二阶齐线性方程x''?a1?t?x'?a2?t?x?0的一个解,则方程的通解可表为________
８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____
９．若xi?t?(i?0,1,2?n)为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________.
3
10.若xi?t?(i?1,2,?,n)为齐线性方程的一个基本解组,x?t?为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.
11.若xi(t)(i?1，2，……，n)是齐线性方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程_______________________ 。
12. 函数_______________ 是微分方程y???y??2y?0 的通解.
13. 微分方程ylnxdx?xlnydy?0满足初始条件yx?e?e的特解是__________________. 14. 方程y???2y??y?0的基本解组是 ． 15. 常系数方程
有四个特征根分别为
（二重根），那么该
方程有基本解组（ ） 二．
计算
1?y'2１． 求通解y''?
2y２． 求特解y''?2y'?y?xex?ex，y?1??y'?1??1
３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为y1?x,y2?x?sinx,y3?x?cosx 求其通
解
４． 求解方程y???y??x
５． 求方程x3y'''?x2y''?4xy'?3x2的通解 ６． 求方程y''?xy'?y?0的解． ７． 求解方程x''?4x'?4x?et?e2t?1
８． 求初始问题的解：y???4y??29y?0,yx?0?0,y?x?0?15 ９． 求解方程
x0三．设可导函数??x?满足??x?cosx?2???t?sintdt?x?1，求??x?
4
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