2019年常微分方程练习题.doc

四．证明题

1.若函数x1?t?,x2?t?,??,xn?t?为n阶齐线性方程的n个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式w?t??0

2．试证n阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。

3. 在方程y???p(x)y??q(x)y?0中，p(x),q(x)在(??,??)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(??,??)上的严格单调函数．

第五章

一、

填空题

1．设?(t)是方程组x??A(t)x?f(t)的定义于区间a?t?b上且满足初始条件?(t0)??的解，则?(t)是积分方程_______________________的定义于a?t?b上的______ 解。反之亦然。

2．在证明用皮卡逼近时，我们对于所有的正整数k有如下估计：

||?k(t)??k?1(t)||______________。

3．如果向量函数x1(t),x2(t),?,xn(t)在区间a?t?b上线性相关，则它们的伏朗斯基行列

式_______________。

4．x??A(t)x一定存在一个基解矩阵?(t)，如果?(t)是x??A(t)x的任一解，那么_______________________。

5．若?(t)是x??A(t)x的基解矩阵，则向量函数?(t)=_____________是x??A(t)x?f(t)的满足初始条件?(t0)?0的解；向量函数?(t)=__________________是x??A(t)x?f(t)的满足初始条件?(t0)??的解。

6．写出关于矩阵指数expAt的性质_________________、_________________、____________________。

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7．非齐线性方程组x??A(t)x?f(t)满足初始条件?(t0)??的解

?(t)=____________________________。

8．假设?是方程x??A(t)x的三重根，则expAt=_________。

9．设x1(t),x2(t)分别是方程组x??A(t)x?f1(t)，x??A(t)x?f2(t)的解，则满足方程

x??A(t)x?f1(t)?f2(t)的一个解可以为 ______________。

10．设?(t)是x??A(t)x的基解矩阵，则x??A(t)x?f(t)?(t)是x??A(t)x?f(t)的某一解，的任一解?(t)都可表示为___________________________。 11．方程组x'?A(t)x的n个解x1(t),x2(t),是 。

12．若矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,,xn(t)线性无关的充要条件

,vn，它们对应的特征值分别是

?1,?2,,?n，那么矩阵?(t)= 是常系数线性方程组x'?A(t)x的一个基

解矩阵。

13．若?(t)是x'?A(t)x的基解矩阵，则x'?A(t)x?f(t)满足x(t0)??的解

?(t)= 。

14．若a1(t),a2(t),f(t)是?a,b?上的连续函数，x1(t),x2(t)是方程x\?a1(t)x'?a2(t)x?0的两个线性无关解，则x\?a1(t)x'?a2(t)x?f(t)的通解为： 。

15.如果x1?t?,x2?t?,?,xn?t?是x'?A?t?x的n个线性无关解，则它的任一解可表为 。 16. 如果

是方程组

的一个基解矩阵，则

=_____________．

17. 设A,B是两个阶常数矩阵，且满足_________, 则exp(A+B)=expAexpB．

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二．计算

?011????1．求x??101?x的基本解矩阵。 ?110???2．求方程组x??A(t)x的基解矩阵，并求出满足初始条件?(0)??的解?(t)。

?12??3??? 其中A?? ???43??3?? ??????5?10?20???5?10?x的通解。 3．求方程x???5?243???4．试用逐步皮卡逼近求方程组

?x1??21??1????x?x???x?满足初始条件x(1)???02??x ??1??的第二次近似解。 ?2??????x'?2x?y?z?5.求?y'?x?2y?z的基解矩阵。

?z'?x?y?2z??21?6. 试求矩阵A???的特征值和对应的特征向量。 ?14???e?t??11?7. 试求初值问题x'???x???，x?01???0??x1???1?，??x0??x??1?的解。 ?2????x1??21??0????x?4. 试求x?Ax?f(t)，其中 A???x?，f(t)???02??，?e2t?? ?2??????1? 满足初始条件?(0)????1??的解?(t).

???x1??01??0?7. 试用逐步逼近法求方程组x???x,x??x? 满足初始条件x(0)??1?第三次近?10?2?????'似解。

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??21?8. 试求方程组x'?Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A????12??

??

二．证明题

1.给定方程x???5x??6x?f(t)其中f(t)在0?t???上连续，试利用常数变易公式，证明：如果f(t)在0?t???上有界，则上面的方程的每一个解在0?t???上有界。 2． 假设m不是A的特征值，试证非齐线性方程组x'?Ax?cemt 有一解形如 ?(t)?pemt ，其中c,p是常数向量。 3.如果的常数矩阵

在区间使得在区间

上是上

的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异

．

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